Ponto recorrente

Predefinição:Sem fontes Na teoria dos sistemas dinâmicos, diz-se que um ponto é recorrente quando ele pertence ao seu conjunto ômega-limite. O estudo de um certo sistema dinâmico quase sempre reduz-se à descrição do comportamento das órbitas dos seus pontos recorrentes.

Definição

Sejam $X$ um espaço topológico e $f:X\to X$ um homeomorfismo. Dizemos que $p\in M$ é um ponto recorrente caso $p\in \omega (p)$

Além disto, definimos o conjunto ômega-limite de $f$ por $\mathrm{\Omega }(f)=\{p\in Z\mid p\in \omega (p)\}$.

Para fluxos, mutatis mutandis, temos a seguinte definição:

Sejam $M$ uma variedade suave e $\varphi :ℝ\times M\to M$ um fluxo contínuo definido sobre $M$. Dizemos que $p\in M$ é um ponto recorrente caso $p\in \omega (p)$.

Definimos o conjunto ômega-limite de $\varphi$ por $\mathrm{\Omega }(f)=\{p\in Z\mid p\in \omega (p)\}$.

Propriedades

• $\mathrm{\Omega }(f)$ é um conjunto invariante pela ação do difeomorfismo (ou do fluxo) que define a dinâmica.
• Se o espaço topológico onde está definida a dinâmica for compacto, pode-se mostrar que $\mathrm{\Omega }(f)$ é um conjunto não-vazio.
• Para difeomorfismos do tipo Axioma A definidos sobre uma variedade fechada, $\mathrm{\Omega }(f)$ possui no máximo um número finito de componentes conexas.
• Todo ponto recorrente é não-errante. A recíproca não é verdadeira.