Conjunto ômega-limite

Predefinição:Sem fontes Na teoria dos sistemas dinâmicos, fixado um sistema dinâmico sobre um espaço $X$, associa-se a cada ponto $p\in X$ um conjunto denominado conjunto ômega-limite de $p$.

Definição

Sejam $X$ um espaço topológico e $f:X\to X$ um homeomorfismo. Se $p\in X$, definimos o conjunto ômega-limite de $p$, denotado por $\omega (p)$, como sendo o conjunto $\{x\in X\mid \mathrm{\exists }\{n_k{\}}_{k\in \mathbb{N}}\subset \mathbb{N}$ tal que $n_k\to \mathrm{\infty }$ e $\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }{f}^{n_k}(p)=x\}$.

Para fluxos, temos a seguinte definição:

Sejam $M$ uma variedade suave e $\varphi :ℝ\times M\to M$ um fluxo contínuo definido sobre $M$. Se $p\in M$, definimos o conjunto ômega-limite de $p$, denotado por $\omega (p)$, como sendo o conjunto $\{x\in X\mid \mathrm{\exists }\{t_k{\}}_{k\in \mathbb{N}}\subset ℝ$ tal que $t_k\to \mathrm{\infty }$ e $\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }\varphi (t_k,p)=x\}$.