Equações de Friedmann

As Equações de Friedmann são um conjunto de equações em cosmologia física que governam a expansão métrica do espaço em modelos homogêneos e isotrópicos do Universo dentro do contexto da Teoria Geral da Relatividade. Foram apresentadas por Alexander Friedman em 1922 a partir das equações de campo de Einstein para a métrica de Friedman-Lemaître-Robertson-Walker e um fluido com uma densidade de energia ($\rho$) e uma pressão ($p$) dadas. As equações para curvatura espacial negativa foram dadas por Friedmann em 1924.

Pressupostos

As equações de Friedmann começam com a hipótese simplificadora de que o universo é espacialmente homogêneo e isotrópico, i.e. o Princípio Cosmológico; empiricamente, isto é justificado em escalas maiores que ~100 Mpc. O Princípio Cosmológico implica que a métrica do universo deve ser da forma:

$d{s}^2={a(t)}^{2}d{s}_3^2-d{t}^2$

onde $d{s}_3^2$ é uma métrica tridimensional que deve ser de um (a) espaço plano, (b) uma esfera de curvatura positiva constante ou (c) um espaço hiperbólico com curvatura negativa constante. O parâmetro $k$ discutido abaixo toma o valor 0, 1, -1 nestes três casos, respectivamente. É este fato que nos permite falar de uma forma sensata de um "fator de escala", $a(t)$.

As equações de Einstein agora relacionam a evolução deste fator de escala para a pressão e energia da matéria no universo. As equações resultantes são descritas abaixo.

Equações

As equações são:

$H^2\equiv {\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)}^2=\frac{8\pi G\rho +\mathrm{\Lambda }}{3}-K\frac{c^2}{a^2}$

$3\frac{\ddot{a}}{a}=\mathrm{\Lambda }-4\pi G(\rho +\frac{3p}{c^2})$

onde $\mathrm{\Lambda }$ é a constante cosmológica possivelmente causada pela energia do vazio, $G$ é a constante gravitacional, $c$ é a velocidade da luz, $a$ é o fator de escala do Universo e $K$ é a curvatura gaussiana quando $a=1$ (p.ex. hoje, na atualidade). Se a forma do universo é hiperesférica e $R$ é o raio de curvatura ($R_0$ no momento atual), então $a=R/R_0$. Geralmente, $\frac{K}{a^2}$ é a curvatura gaussiana. Se $K$ é positiva, então o Universo é hiperesférico. Se $K$ é zero, o Universo é plano e se $K$ é negativo o Universo é hiperbólico. Note-se que $\rho$ e $p$ são função de $a$. O parâmetro de Hubble, $H$, é a velocidade de expansão do universo.

Estas equações às vezes se simplificam redefinindo a densidade de energia e a pressão:

$\rho \to \rho -\frac{\mathrm{\Lambda }}{8\pi G}$ $p\to p+\frac{\mathrm{\Lambda }{c}^2}{8\pi G}$

para obter:

$H^2\equiv {\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)}^2=\frac{8\pi G}{3}\rho -K\frac{c^2}{a^2}$

$3\frac{\ddot{a}}{a}=-4\pi G(\rho +\frac{3p}{c^2})$

O parâmetro de Hubble pode mudar no tempo se outros membros da equação são dependentes do tempo (em particular a densidade de energia, a energia do vazio e a curvatura). Avaliando o parâmetro de Hubble no momento atual resulta que a constante de Hubble que é a constante de proporcionalidade da lei de Hubble. Aplicado a um fluido com uma equação de estado dada, as equações de Friedmann dão como resultado a evolução no tempo e a geometria do Universo como função da densidade do fluido.

Alguns cosmólogos chamam à segunda destas duas equações a equação de aceleração e reservam o termo equação de Friedmann só para a primeira equação.

O parâmetro de densidade

O parâmetro de densidade, $\mathrm{\Omega }$, se define como a relação da densidade atual (ou observada) $\rho$ relacionado à densidade crítica ${\rho }_c$ do Universo de Friedmann. Uma expressão para a densidade crítica se encontra assumindo que $\mathrm{\Lambda }$ é zero (como é para todos os Universos de Friedmann básicos) e estabelecendo a curvatura $K$ igual a zero. Quando se substituem estes parâmetros na primeira equação de Friedmann encontramos que:

${\rho }_c=\frac{3H^2}{8\pi G}$

E a expressão para o parâmetro de densidade (útil para comparar diferentes modelos cosmológicos) se obtém que é:

$\mathrm{\Omega }\equiv \frac{\rho }{{\rho }_c}=\frac{8\pi G}{3H^2}\rho$

Este termo originalmente foi utilizado como uma maneira de determinar a geometria do campo no que ${\rho }_c$ é a densidade crítica para a qual a geometria é plana. Assumindo uma densidade de energia do vazio nula, se $\mathrm{\Omega }$ é maior que um, a geometria é fechada e o Universo eventualmente parará sua expansão e então se colapsará. Se $\mathrm{\Omega }$ é menor que um, será aberto e o Universo se expandirá para sempre. Entretanto, também se podem sintetizar os termos de curvatura e da energia do vazio numa expressão mais geral para $\mathrm{\Omega }$ no caso de que este parâmetro de densidade de energia seja exatamente igual à unidade. Então é uma questão de medir os diferentes componentes, normalmente designados por sub-índices. De acordo com o modelo Lambda-CDM, há importantes componentes de $\mathrm{\Omega }$ devido a bárions, matéria escura fria e energia escura. A geometria do espaço-tempo foi medida pelo satélite WMAP estando próxima de ser uma geometria plana, o que quer dizer, que o parâmetro de curvatura $K$ é aproximadamente zero.

A primeira equação de Friedmann frequentemente se escreve formalmente com os parâmetros de densidade.

$\frac{H^2}{H_0^2}={\mathrm{\Omega }}_R{a}^{-4}+{\mathrm{\Omega }}_M{a}^{-3}+{\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{\Lambda }}-K{c}^2{a}^{-2}$

Onde, ${\mathrm{\Omega }}_R$ é a densidade de radiação atual, ${\mathrm{\Omega }}_M$ é a densidade da matéria (escura mais a bariónica) atual e ${\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{\Lambda }}$ é a constante cosmológica ou a densidade do vazio atual.

Equação de Friedmann reescalada

Estabelecendo $a=\tilde{a}{a}_0,{\rho }_c=3H_0^2/8\pi G,\rho ={\rho }_c\mathrm{\Omega },t=\tilde{t}/H_0,{\mathrm{\Omega }}_c=-K/H_0^2{a}_0^2$ onde $a_0$ e $H_0$ são em separado o fator de escala e o parâmetro de Hubble atuais. Então podemos dizer que:

$\frac{1}{2}{\left(\frac{d\tilde{a}}{d\tilde{t}}\right)}^2+U_{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}}(\tilde{a})=\frac{1}{2}{\mathrm{\Omega }}_c$

onde $U_{eff}(\tilde{a})=\mathrm{\Omega }{\tilde{a}}^2/2$. Para qualquer forma do potencial efetivo $U_{eff}(\tilde{a})$, há uma equação de estado $p=p(\rho )$ que a produzirá.

Ver também

• Astronomia
• Big Bang
• Cosmologia
• Cronologia do Big Bang
• Cronologia da cosmologia
• Inflação cósmica
• Radiação cósmica de fundo
• Destino último do Universo
• Idade do universo

• Cosmologia observacional
• Métrica de Expansão do Universo
• Energia escura
• Métrica FLRW
• Lei de Hubble
• Matéria escura
• Desvio para o vermelho
• Modelo Lambda-CDM
• Nucleossíntese primordial

• CoBE
• Estrutura em grande escala do universo
• BOOMERanG
• Forma do universo
• Formação estrutural
• Formação e evolução de galáxias
• SDSS
• WMAP
• 2dF

• Investigadores em cosmologia
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