Lemniscata de Bernoulli

A Lemniscata de Bernoulli

A Lemniscata de Bernoulli é a curva algébrica do quarto grau de equação cartesiana:

$(x^2+y^2{)}^2=a^2(x^2-y^2)$

A lemniscata também pode ser descrita pelas coordenadas polares abaixo,

$r^2=a^2\cos 2\theta$

pelas respectivas coordenadas bipolares,

$r{r}^{\prime }=\frac{a^2}{2}$

ou pela equação paramétrica:

Coordenadas bipolares$x=a\cos t\sqrt{2\cos (2t)};y=a\sin t\sqrt{2\cos (2t)}$

A curva tem a forma similar ao numeral 8 e o símbolo de infinito ($\mathrm{\infty }$).

A lemniscata foi descrita primeiramente por Jakob Bernoulli em 1694 como uma modificação da elipse, que é o lugar geométrico de pontos para qual a soma das distâncias para cada um de dois focos fixos é uma constante. A Oval de Cassini, por sua vez, é o lugar de pontos para os quais o produto destas distâncias é constante. No caso onde a curva atravessa o ponto no meio caminho entre os focos, a oval é uma lemniscata de Bernoulli.

Bernoulli chamou isto de lemniscus que em latim significa "faixa suspensa". A lemniscata pode ser obtida como o inverso geométrico de uma hipérbole, com o círculo de inversão centrado no centro da hipérbole (bissetriz de seus dois focos).

Derivadas

Cada derivada abaixo foi calculada usando derivações implícitas.

Com $y$ em função de $x$

$\frac{dy}{dx}=\{\begin{array}{cc}\text{infinito}& \text{se }y=0\text{ e }x\ne 0\\ \pm 1& \text{se }y=0\text{ e }x=0\\ \frac{x(a^2-2x^2-2y^2)}{y(a^2+2x^2+2y^2)}& \text{se }y\ne 0\end{array}$

$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\{\begin{array}{cc}\text{infinito}& \text{se }y=0\text{ e }x\ne 0\\ 0& \text{se }y=0\text{ e }x=0\\ \frac{3a^6(y^2-x^2)}{y^3(a^2+2x^2+2y^2{)}^3}& \text{se }y\ne 0\end{array}$

Com $x$ em função de $y$

$\frac{dx}{dy}=\{\begin{array}{cc}\text{infinito}& \text{se }2x^2+2y^2=a^2\\ \pm 1& \text{se }x=0\text{ e }y=0\\ \frac{y(a^2+2x^2+2y^2)}{x(a^2-2x^2-2y^2)}& \text{caso contrario }\end{array}$

$\frac{d^{2}x}{d{y}^2}=\{\begin{array}{cc}\text{infinito}& \text{se }2x^2+2y^2=a^2\\ 0& \text{se }x=0\text{ e }y=0\\ \frac{3a^6(x^2-y^2)}{x^3(a^2-2x^2-2y^2{)}^3}& \text{caso contrario }\end{array}$

Curvatura

Quando as duas primeiras derivadas são conhecidas, a curvatura é facilmente calculada:

$\kappa =\pm 3(x^2+y^2{)}^{1/2}{a}^{-2}$

O sinal a ser escolhido deve ser de acordo com a direção de movimento ao longo da curva. A lemniscata tem a propriedade da qual a magnitude da curvatura em qualquer ponto é proporcional à distância daquele ponto da origem.

Comprimento de arco como parâmetro e funções elípticas

A determinação do comprimento de arco como parâmetro da lemniscata levou às integrais elípticas, descobertas durante o século XVIII. Por volta de 1800, essa função elíptica era estudada por Carl Friedrich Gauss. Largamente inédito na ocasião, mas foram feitas insinuações a elas nas notas de sua obra "Disquisitiones Arithmeticae".

Seção

Lemniscata de Bernoulli em um torus secionado.

É possível obter a curva, secionando-se um torus por meio de um plano paralelo ao eixo de revolução. A tangência do perímetro interno origina uma Lemniscata no contorno da seção.

Ver também

• Lista de construções do desenho geométrico