Átomo (teoria da medida)

Em matemática, mais precisamente na teoria da medida, um átomo é um conjunto mensurável que possui medida positiva e não contém qualquer conjunto "menor" com medida positiva. Uma medida que não possui átomos é chamada de não-atômica.

Definição

Dado um espaço mensurável $(X,\mathrm{\Sigma })$ e uma medida $\mu$ sobre tal espaço, um conjunto $A$ em $\mathrm{\Sigma }$ é chamado de átomo se

$\mu (A)>0$

e para qualquer subconjunto mensurável $B$ de $A$ com

$\mu (A)>\mu (B)$

tem-se $\mu (B)=0.$

Exemplos

• Considere o conjunto X={1, 2, ..., 9, 10} e a sigma-álgebra $\mathrm{\Sigma }$ definida pelo conjunto potência de X. Defina a medida $\mu$ de um conjunto como sua cardinalidade, isto é, o número de elementos do conjunto. Então, cada um dos conjuntos unitários (com um único elemento) {i}, para i=1,2, ..., 9, 10 é um átomo.
• Considere a medida de Lebesgue sobre a reta real. Esta medida não possui átomos.

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