Constante de normalização

Predefinição:Estatística sidebar A constante de normalização é um conceito que surge em teoria das probabilidades e em outras áreas da matemática. A constante de normalização é usada para reduzir qualquer função de probabilidade a uma função densidade de probabilidade com probabilidade total igual a 1.

Definição e exemplos

Em teoria das probabilidades, uma constante de normalização é uma constante pela qual uma função não negativa em todo lugar deve ser multiplicada de modo que a área sob sua gráfico seja igual a 1, por exemplo, para tornar a função uma função densidade de probabilidade ou uma função massa de probabilidade. Por exemplo, se definirmos

$p(x)=e^{-x^2/2},x\in (-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }),$

teremos

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}p(x)dx=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x^2/2}dx=\sqrt{2\pi }$

e, se definirmos uma função

$\phi (x)$

como

$\phi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}p(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-x^2/2},$

de modo que

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\phi (x)dx=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-x^2/2}dx=1,$

então a função

$\phi (x)$

é uma função densidade de probabilidade. Esta é a densidade da distribuição normal padrão, isto é, com valor esperado igual a 0 e variância igual a 1.

A constante $\frac{1}{\sqrt{2\pi }}$ é a constante de normalização da função $p(x)$.

De forma semelhante,

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\lambda }^n}{n!}=e^{\lambda }$

e, consequentemente,

$f(n)=\frac{{\lambda }^n{e}^{-\lambda }}{n!}$

é a uma função massa de probabilidade no conjunto de todos os números inteiros não negativos. Esta é a função massa de probabilidade da distribuição de Poisson com valor esperado igual a

$\lambda$

.

Se a função densidade de probabilidade for uma função de vários parâmetros, assim também será sua constante de normalização. A constante de normalização parametrizada para a distribuição de Boltzmann desempenha uma papel central na mecânica estatística. Neste contexto, a constante de normalização é chamada de função de partição.

Teorema de Bayes

O teorema de Bayes diz que a medida de probabilidade a posteriori é proporcional ao produto da medida de probabilidade a priori pela função de verossimilhança. "Proporcional ao" implica que se deve multiplicar ou dividir por uma constante de normalização para atribuir medida 1 ao espaço inteiro, isto é, para obter uma medida de probabilidade. No caso discreto simples, temos

$P(H_0|D)=\frac{P(D|H_0)P(H_0)}{P(D)},$

em que

$P(H_0)$

é a probabilidade a priori de que a hipótese seja verdadeira;

$P(D|H_0)$

é a probabilidade condicional dos dados, sendo a hipótese verdadeira, mas já que os dados são conhecidos, é a verossimilhança da hipótese (ou seus parâmetros), levando em conta os dados;

$P(H_0|D)$

é a probabilidade a posterior de que hipótese seja verdadeira, levando em conta os dados;

$P(D)$

deve ser a probabilidade de produzir os dados, sendo por si só difícil de calcular, mas havendo uma forma alternativa de descrever esta relação em termos de proporcionalidade

$P(H_0|D)\propto P(D|H_0)P(H_0).$

Já que

$P(H|D)$

é uma probabilidade, a soma sobre todas as hipóteses possíveis (e mutuamente exclusivas) deve ser igual a 1, o que leva à conclusão que:

$P(H_0|D)=\frac{P(D|H_0)P(H_0)}{\sum _{i}P(D|H_i)P(H_i)}.$

Neste caso, o inverso multiplicativo do valor

$P(D)=\sum _{i}P(D|H_i)P(H_i)$

é a constante de normalização. Pode ser estendida de muitas hipóteses contáveis a muitas hipóteses incontáveis ao substituir a soma por uma integral.

Usos não probabilísticos

Os polinômios de Legendre são caracterizados pela ortogonalidade com respeito à medida uniforme no intervalo $[-1,1]$ e pelo fato de que são normalizados, de modo que seu valor em 1 seja 1. A constante pela qual se multiplica um polinômio de modo que seu valor em 1 seja 1 é uma constante de normalização.

Funções ortonormais são normalizadas, de modo que

$⟨f_i,f_j⟩={\delta }_{i,j}$

com respeito a algum produto interior

$<f,g>$

.

A constante $1/\sqrt{2}$ é usada para estabelecer as funções hiperbólicas $\cos h$ e o $\mathrm{sen}h$ a partir dos comprimentos dos lados adjacentes e opostos de um triângulo hiperbólico.