Polinômio característico

Em álgebra linear, o polinômio característico de uma matriz $A_{n\times n}$ ou de um operador linear $A\in L(V,V)$ em um espaço vetorial $V$ de dimensão finita $n$ com base $C$ é o polinômio:

$$p_A(x)=\det [xI-A{]}_C$$

em que $\det$ é o determinante e $I$ é a matriz identidade $n\times n$ (ou o operador identidade). Este é um polinômio mônico de grau $n,$ ou seja, o coeficiente do termo de maior grau é $1.$ Os autovalores de $A$ são as raízes de seu polinômio característico.

O polinômio minimal de um operador linear A em L(V, V) é o polinômio mônico m_A(x) de menor grau tal que $m_A(A)(v)=0,$ $\mathrm{\forall }v\in V.$

Motivação

Uma matriz quadrada "A" é singular se, e somente se, 0 é um autovalor de A. Esta é, aliás, a principal técnica para descobrir se uma matriz é singular: $$\det (\lambda I-A)=0.$$ Para uma matriz de ordem $n\times n$, o lado esquerdo desta equação é um polinômio de grau n na variável λ, denominado polinômio característico de A.

Alguns autores definem o polinômio característico como $\det (A-\lambda I)$. Tal polinômio difere do que foi apresentado neste artigo por um sinal (−1)ⁿ, e isso não faz diferença para propriedades como a de ter os autovalores de A como raízes; no entanto, a definição deste artigo sempre produz um polinômio mônico, enquanto que a definição alternativa só resulta em um polinômio mônico quando $n$ é par.

Exemplos

• Seja $A$ uma matriz de ordem $2\times 2$ dada por $$A=\left[\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right].$$ Então, seu polinômio característico é $$\begin{array}{cc}{p}_A(\lambda )& =\det (\lambda I-A)\\ & =\det (\lambda \left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right])\\ & =\det \left(\left[\begin{array}{cc}\lambda -a_{11}& -a_{12}\\ -a_{21}& \lambda -a_{22}\end{array}\right]\right)\\ & =\left[(\lambda -a_{11})(\lambda -a_{22})\right]-\left[a_{12}{a}_{21}\right]\\ & ={\lambda }^2-(a_{11}+a_{22})\lambda +(a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21})\\ & ={\lambda }^2-\text{tr}(A)\lambda +\det (A)\end{array},$$ em que $\text{tr}(A)$ é o traço de $A.$
• Seja $\mho$ uma matriz de ordem $3\times 3$dada por: $$\mho =\left[\begin{array}{ccc}{\mho }_{11}& {\mho }_{12}& {\mho }_{13}\\ {\mho }_{21}& {\mho }_{22}& {\mho }_{23}\\ {\mho }_{31}& {\mho }_{32}& {\mho }_{33}\end{array}\right]$$Então, seu polinômio característico é: $$\begin{array}{cc}{p}_{\mho }(\lambda )& =\det (\lambda I-\mho )\\ & =\det (\lambda \left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]-\left[\begin{array}{ccc}{\mho }_{11}& {\mho }_{12}& {\mho }_{13}\\ {\mho }_{21}& {\mho }_{22}& {\mho }_{23}\\ {\mho }_{31}& {\mho }_{32}& {\mho }_{33}\end{array}\right])\\ & =\det \left(\left[\begin{array}{ccc}\lambda -{\mho }_{11}& {\mho }_{12}& {\mho }_{13}\\ {\mho }_{21}& \lambda -{\mho }_{22}& {\mho }_{23}\\ {\mho }_{31}& {\mho }_{32}& \lambda -{\mho }_{33}\end{array}\right]\right)\\ \end{array}.$$

Bibliografia

• Predefinição:Citation.
• Predefinição:Citation.
• Predefinição:Citation.
• Predefinição:Citation
• Predefinição:Citation.
• Predefinição:Citation.
• Predefinição:Citation.
• Predefinição:Citation.
• Predefinição:Citation.
• Predefinição:Citation.
• Predefinição:Citation.
• Predefinição:Citation.
• Predefinição:Citation.
• Predefinição:Citation.
• Predefinição:Citation.
• Predefinição:Citation.
• Predefinição:Citation.
• Predefinição:Citation.
• Predefinição:Citation.
• Predefinição:Citation.
• Predefinição:Citation.
• Predefinição:Citation.
• Predefinição:Citation.
• Predefinição:Citation.
• Predefinição:Citation.
• Predefinição:Citation.
• Predefinição:Citation.
• Predefinição:Citation.
• Pigolkina, T. S. and Shulman, V. S., Eigenvalue (in Russian), In:Vinogradov, I. M. (Ed.), Mathematical Encyclopedia, Vol. 5, Soviet Encyclopedia, Moscow, 1977.
• Predefinição:Citation.
• Predefinição:Citation.
• Curtis, Charles W., Linear Algebra: An Introductory Approach, 347 p., Springer; 4th ed. 1984. Corr. 7th printing edition (August 19, 1999), ISBN 0387909923.
• Predefinição:Citation.
• Predefinição:Citation.
• Predefinição:Citation

.