Inequação-produto

Inequação-produto é toda inequação na qual há um produto de termos. Note que o produto deve ser comparado a zero, para que seja possível avaliar os sinais dos fatores. A inequação é da forma:

$\prod _{i=1}^N{f}_i(x)\star 0$

onde é necessário que haja o produto de pelo menos dois polinômios.

Exemplo:

$(x-3)(x^2-4)\le 0$

Resolução

Há dois métodos principais de resolução da Inequação-Produto: o método de decomposição (método matemático) e o do Quadro de Sinais (método prático).

Decomposição

Decompõe-se o produto em seus valores possíveis, obtêm-se o Conjunto Solução de cada valor e acha-se o valor geral possível:

$[f(x)][g(x)]>0\iff (f(x)>0\wedge g(x)>0)\vee (f(x)<0\wedge g(x)<0)$

$[f(x)][g(x)]<0\iff (f(x)>0\wedge g(x)<0)\vee (f(x)<0\wedge g(x)>0)$

etc...

Note que $\wedge$ é o e lógico, equivalente à Interseção e que $\vee$ é o ou lógico, equivalente à União.

Exemplo

$(x-2)(2x-3)>0$

$(x-2)>0\wedge (2x-3)>0$

$x-2>0\iff x>2\iff S_1$

$2x-3>0\iff 2x>3\iff x>\frac{3}{2}\iff S_2$

$S_1\cap S_2\iff x>2\wedge x>\frac{3}{2}\iff x>2\iff S_3$

$(x-2)<0\wedge (2x-3)<0$

$x-2<0\iff x<2\iff S_4$

$2x-3<0\iff 2x<3\iff x<\frac{3}{2}\iff S_5$

$S_4\cap S_5\iff x<2\wedge x<\frac{3}{2}\iff x<\frac{3}{2}\iff S_6$

$S_3\cup S_6\iff x>2\vee x<\frac{3}{2}\iff S$

Quadro de Sinais

Imagem representando a disposição dos fatores e das raízes no Quadro de Sinais.

Passos para a resolução da inequação-produto pelo quadro se sinais:

1º) Obtêm-se o valor das raízes de cada fator da inequação-produto, igualando-os a zero.

2º) Após isso, estuda-se o sinal de cada fator.

3º) Então, faz-se um quadro de sinais, como mostrado na imagem, sendo $r_1$ a raiz de $f(x)$ e $r_2$ a raiz de $g(x)$.

4º) O quadro determina o sinal de cada fator, dependendo do $x$, para cada fator e, posteriormente, do próprio produto, utilizando as regras de intervalos reais.

Exemplo

Resolução da Inequação-Produto $(x-3)(7-x)\ge 0$.

$(x-3)(7-x)\ge 0\iff 3\le x\le 7\iff S$

Observando a imagem, concluimos que o trecho em que o produto assume valor positivo é aquele que compreende os valores de $x$ entre $3$ e $7$.

Outras inequações-produto

É possível, na verdade, observar inequações-produto sem fatores que sejam resumidos à inequações do 1º grau ou que tenham mais de dois fatores. Sua resolução, todavia, apesar de usar os métodos descritos, requisita outros conhecimentos:

$(x^3-2x^2+5)[lo{g}_x(x-1)](\sqrt{2^x-x^2})<0$

Bibliografia

• MURAKAMI, Gelson Iezzi Carlos. "Fundamentos da Matemática Elementar - Volume 1". 8ª Edição. São Paulo: Atual, 2004. ISBN 85-357-0455-8

Ver também

• Inequação
• Inequação simultânea
• Inequação-quociente
• Inequação do 2º grau