Teorema de Dini

Predefinição:Sem fontes Predefinição:Reciclagem O Teorema de Dini, nomeado assim em homenagem ao ilustre matemático italiano do século XIX, Ulisse Dini, é um importantíssimo resultado de Análise real que caracteriza a convergência de sequências de funções dentro de um compacto de $ℝ$, i.e., um fechado e limitado.

Enunciado : Seja $X\subset ℝ$ compacto (fechado e limitado). Se uma sequência de funções contínuas $f_n:X\to ℝ$ converge monotonicamente para uma função contínua $f:X\to ℝ$, então a convergência é uniforme.

Demonstração: Dado $\epsilon >0$, considere, para cada $n\in \mathbb{N}$, o seguinte conjunto:

$K_n=\{x\in X/|f_n(x)-f(x)|\ge \epsilon \}$

Como $f_n$ e $f$ são contínuas e $X$ é fechado, pois é compacto, segue-se que para cada $n$, $K_n$ é um subconjunto fechado de $X$, pois pode ser visto , para cada $n\in \mathbb{N}$ como imagem inversa da função $g:X\to ℝ$ abaixo definida:

$g_n(x)=|f(x)-f_n(x)|$

Observe que $g_n:X\to ℝ$ é contínua para cada $n$, pois é a composição da função módulo e da diferença das funções $f$ e $f_n$ para cada $n\in \mathbb{N}$.

Observe também que o conjunto $[\epsilon ,\mathrm{\infty })$ é fechado de $ℝ$, pois seu complementar, $(-\mathrm{\infty },\epsilon )$ é aberto.

Logo,

$K_n=g^{-1}([\epsilon ,\mathrm{\infty }))$

Logo, $K_n$ é fechado, e por ser subconjunto de um compacto, é compacto para cada $n\in \mathbb{N}$

Como a sequência $(f_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ é monótona (não-decrescente) , teremos que $K_1\supset K_2\supset \cdots \supset K_n\supset \cdots$, pois de outro modo a sequência $(f_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ não convergiria monotonicamente para $f$. Mas, observe que:

$\bigcap K_n=\varnothing$

pois suponha, ab absurdo que $x\in K_n$ para todo $n\in \mathbb{N}$.

Ora, isto implicaria $|f_n(x)-f(x)|\ge \epsilon ,(\mathrm{\forall }x)$

para todo n, o que implicaria na não-convergência da sequência, Q.E.A..

Sendo:

$\bigcap K_n=\varnothing$

concluímos que existe $n_0\in \mathbb{N}$ tal que $K_{n_0}=\varnothing$.

Suponha que não ocorresse isto. Então ocorreria que, $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},K_n\ne \varnothing$. Então poderíamos construir uma sequência que não admitiria subsequência convergente, o que seria absurdo pois os $K_n$'s são sequencialmente compactos. Logo, $n>n_0\Rightarrow J_n=\varnothing$, ou seja, $n>n_0\Rightarrow |f_n(x)-f(x)|<\epsilon$ para todo $x\in X$.

Logo, a convergência é uniforme.

Q.E.D.