Lema fundamental do cálculo das variações

Em matemática, em especial em cálculo das variações, o lema fundamental dos cálculos da variações ou do cálculo variacional é uma lema que é tipicamente utilizado para transformar um problema em sua formulação fraca (forma variacional) na sua forma forte (equação diferencial).

Seja f uma função de classe $C^k$ no intervalo [a,b]. Supomos ainda que

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)h(x)dx=0$

para toda função h que de classe $C^k$ em [a,b] com h(a) = h(b) = 0. Então, o lema fundamental do cálculo das variações afirma que f(x) é identicamente nula no intervalo aberto (a,b).

Aplicações

Este lema é utilizado para provar que os extremos de um funcional

$J[L(t,y,\dot{y})]=\underset{x_0}{\overset{x_1}{\int }}L(t,y,\dot{y})dt$

são as soluções fracas da equação de Euler-Lagrange

$\frac{\partial L(t,y,\dot{y})}{\partial y}=\frac{d}{dt}\frac{\partial L(t,y,\dot{y})}{\partial \dot{y}}.$

As equações de Euler-Lagrange possuem um papel importante em mecânica clássica e geometria diferencial.

Referências

• L. Hörmander, The Analysis of Linear Partial Differential Operators I, (Distribution theory and Fourier Analysis), 2nd ed, Springer; 2nd edition (September 1990) ISBN 0-387-52343-X.
• Predefinição:Citar livro
• Predefinição:Citar livro

Predefinição:Teoremas fundamentais