Teorema de Dirichlet sobre progressões aritméticas

Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet.

O teorema de Dirichlet sobre progressões aritméticas é um resultado da teoria analítica dos números demonstrado pelo matemático Johann Dirichlet.

Este teorema sobre a distribuição dos números primos em $\mathbb{N}$, foi conjecturado por Gauss e finalmente demonstrado em 1837 por Dirichlet, nome pelo qual é atualmente conhecido.

O primeiro teorema de convergência de séries de Fourier, devido a Dirichlet, apareceu em 1829 e se refere à funções monótonas em trechos. Por ele começamos primeiro com uns comentários sobre estas funções. Uma função monótona e cotada em um intervalo [a, b] é integrável e tem limites laterais finitos em cada ponto. Se estes limites não coincidem a função terá uma descontinuidade com um salto finito. A soma dos saltos não pode ser maior que a diferença dos valores da função nos extremos do intervalo, de modo que o conjunto de descontinuidades com salto maior que 1/n é finito e, portanto, o conjunto de descontinuidades é no máximo numerável. As mesmas propriedades serão certas para uma função monótona em trechos, ou seja, aquela que é monótona em uma quantidade finita de intervalos que unidos dão o intervalo original.

Enunciado

Seja $a_1,b\in \mathbb{N}/\mathrm{mdc}(a_1,b)=1$ então a progressão aritmética $a_n=a_1+b\cdot (n-1)$ contém infinitos números primos. (conforme Dirichlet)

Demonstração

A demonstração do teorema utiliza as propriedades de certas funções multiplicativas (conhecidas como funções L de Dirichlet) e vários resultados sobre aritmética de números complexos e é suficientemente complexa para que alguns textos clássicos de teoria dos números decidam excluí-la de seu repertório de demonstrações. Para evitar fazer uma leitura demasiado densa, neste artigo se excluiu da demostração alguns corolários intermediários que aparecem marcados como [AD]. A demostração completa, junto com os corolários excluídos aqui, podem ser encontrados no artigo de González de la Hoz.

Seja $G$ um grupo comutativo finito de ordem $h$ e elemento unitário $e$.

Um caráter sobre $G$ é uma função $\chi \in ℂ/\chi \ne 0,\chi (u\cdot v)=\chi (u)\cdot \chi (v)\mathrm{\forall }u,v\in G$ Um caráter sobre $G$ tem uma série de propriedades importantes para nossa demonstração:

1. Dado que tanto a inversa de um caráter sobre $G$ como o produto dos caráteres sobre $G$ é também um caráter sobre $G$, o conjunto de caráteres sobre $G$ forma um grupo comutativo com a multiplicação.

   Isto permite definir o caráter principal do grupo $G$ que se define como a função ${\chi }_0/{\chi }_0(u)=1\mathrm{\forall }u\in G$. O caráter principal é portanto o elemento unidade do grupo definido pelo conjunto de caráteres sobre $G$.

2. Como $\chi (e)=1$ e dado que a ordem de um elemento divide a ordem do grupo, então $\mathrm{\forall }u\in G(\chi (u){)}^h=\chi (u^h)=\chi (e)=1$, o que implica que $\mid \chi (u)\mid =1$.

   Dado que o número de raizes do elemento unitário de ordem $h$ é como máximo $h$, o número de carateres $c$ é finito, sendo o valor $h^h$ uma cota superior de $c$.

   Por outra parte $\mathrm{\forall }u\in G,u\ne e$ existe um caráter $\chi /\chi (u)\ne 1$ ([AD]). Por ele, e se representa mediante $\sum _G{a}_{\chi }$ a soma do valor $a_{\chi }$ associado a cada um dos diferentes caráteres do grupo $G$, se tem estas propriedades adicionais ([AD]):

3. $\mathrm{\forall }u\in G\text{ se tem que: }$ $\sum _G\chi (u)=\{\begin{array}{cc}c& siu=e\\ 0& siu\ne e\end{array}$$\text{ onde }c=\sum _{G}1$
4. $\mathrm{\forall }u\in G\text{ se tem que: }$ $\sum _{u\in G}\chi (u)=\{\begin{array}{cc}h& si\chi ={\chi }_0\\ 0& si\chi \ne {\chi }_0\end{array}$$\text{ onde }h\text{ é a ordem de }G\text{ sendo }c=h$
5. $\mathrm{\forall }u,v\in G\text{ determina que: }$ $\frac{1}{h}\sum _{\chi }\frac{\chi (u)}{\chi (v)}=\{\begin{array}{cc}1& siu=v\\ 0& siu\ne v\end{array}$
6. $\mathrm{\forall }{\chi }_1,{\chi }_2\in G\text{ determina que: }$ $\frac{1}{h}\sum _{u\in G}\frac{{\chi }_1(u)}{{\chi }_2(u)}=\{\begin{array}{cc}1& si{\chi }_1={\chi }_2\\ 0& si{\chi }_1\ne {\chi }_2\end{array}$

   Dado um $q\in \mathbb{N}$, se definem os carateres $\chi$ do grupo $G=Z_q^{*}$ definido como as classes de congruência módulo $q$ de números coprimos com $q$.

   O grupo $G$ tem $\varphi (q)$ elementos, e o podemos representar por $G=\{a_1,a_2,a_3,...,a_{\varphi (q)}\}$ onde os diferentes $a_i$ são os representantes da classe de congruência que obedecem a condição $0<a_j<q$, e neste contexto se definem as funções estendidas dos caracteres $\chi$ de $G$ da seguinte maneira:

   $\chi (n)=\{\begin{array}{cc}\chi (a_i)& \mathrm{s}\mathrm{i}n\equiv a_i(\mathrm{mod}q)\\ 0& \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{mcd}(n,q)>1\end{array}$

   Estas funções se denominam caracteres de Dirichlet módulo q e são completamente multiplicativas. Existem $\varphi (q)$ funções deste tipo e uma delas: ${\chi }_0(n)=\{\begin{array}{cc}1& \mathrm{s}\mathrm{i}n\equiv a_i(\mathrm{mod}q)\\ 0& \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{mcd}(n,q)>1\end{array}$ se denomina caráter principal de Dirichlet.

   Estes carateres tem algumas propriedades significativas (derivadas das propriedades dos carateres de um grupo que vimos antes):

7. $\sum _{n(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}q)}\chi (n)=\{\begin{array}{cc}\varphi (q)& \mathrm{s}\mathrm{i}\chi ={\chi }_0\\ 0& \mathrm{s}\mathrm{i}\chi \ne {\chi }_0\end{array}$
8. $\sum _{n(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}q)}\chi (u)=\{\begin{array}{cc}\varphi (q)& \mathrm{s}\mathrm{i}u\equiv 1(\mathrm{mod}q)\\ 0& \mathrm{s}\mathrm{i}u\equiv ̸1(\mathrm{mod}q)\end{array}$
9. $\mathrm{\forall }a\in \mathbb{N}/\mathrm{mcd}(a,q)=1\text{ se tem que: }$ $\sum _{n(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}q)}\frac{\chi (u)}{\chi (a)}=\{\begin{array}{cc}\varphi (q)& \mathrm{s}\mathrm{i}u=a\\ 0& \mathrm{s}\mathrm{i}u\ne a\end{array}$

Neste ponto se deve introduzir o seguinte definição:

Uma função-L de Dirichlet é uma função da forma

$L(s,\chi )=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\chi (n)}{n^s}$ onde $s\in ℂ$ e $\chi$ é um caráter de Dirichlet.

Os valores de $\chi$ são periódicos, o que implica que a série $L(s,\chi )$ converge absolutamente para $\mathrm{\Re }(s)>1$ e uniformemente para $\mathrm{\Re }(s)>1+\epsilon ,\mathrm{\forall }\epsilon >0.$ Além disso, como os coeficientes são completamente multiplicativos, a série admite a seguinte expressão: $L(s,\chi )=\prod _p{(1-\frac{\chi (p)}{p^s})}^{-1}$ Quando $\mathrm{\Re }(s)>1$ A função-L de Dirichlet tem as seguintes propriedades ([AD]):

1. $L(s,\chi )\ne 0$
2. $L(s,{\chi }_0)=\zeta (s)\cdot \prod _{p\mid q}(1-\frac{1}{p^s})$
3. $\frac{L^{\prime }(s,\chi )}{L(s,\chi )}=-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\chi (n)\mathrm{\Lambda }(n)}{n^s}$
4. $\ln (L(s,\chi ))=\sum _p\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{m}\frac{(\chi (p){)}^m}{p^{m\cdot s}}$

Da igualdade $L(s,{\chi }_0)=\zeta (s)\cdot \prod _{p\mid q}(1-\frac{1}{p^s})$ e as propriedades da função $\zeta$ se deduz que a função $L(s,{\chi }_0)$ é analítica no semiplano complexo $\mathrm{\Re }(s)>0$ a exceção de um polo em $s=1$, cujo resíduo é $\prod _{p\mid q}(1-\frac{1}{p})=\frac{\varphi (q)}{q}$. Como consequência disto, podemos afirmar que $L(s,{\chi }_0)=f(s)+\frac{\varphi (q)/q}{s-1}$, onde $f$ é analítica e não tem singularidades em $\mathrm{\Re }(s)>0$, de modo que a função expressa por $\frac{L^{\prime }(s,\chi )}{L(s,\chi )}=\frac{f^{\prime }(s)-\frac{\varphi (q)/q}{(s-1{)}^2}}{f(s)+\frac{\varphi (q)/q}{s-1}}=\frac{(s-1{)}^2{f}^{\prime }(s)-\varphi (q)/q}{(s-1)f(s)-\varphi (q)/q}\frac{1}{s-1}$ tem também um polo em $s=1$ com resíduo $-1$. Por outra parte, toda função-L de Dirichlet $L(s,\chi )$ com $\chi \ne {\chi }_0$ é analítica e não apresenta singularidades na zona $\mathrm{\Re }(s)>0$ ([AD]). E para $k>0$ se tem ([AD]) que $\sum _{p=a(\mathrm{mod}q)}\frac{\ln (p)}{p^k}=\sum _{n=a(\mathrm{mod}q)}\frac{\mathrm{\Lambda }(n)}{n^k}-O(1)$ o qual também se pode expressar como:

$\sum _{p=a(\mathrm{mod}q)}\frac{\ln (p)}{p^k}=$$\frac{-1}{\varphi (q)}\cdot \frac{L^{\prime }(k,{\chi }_0)}{L(k,{\chi }_0)}-\frac{1}{\varphi (q)\chi (a)}\sum _{\genfrac{}{}{0ex}{}{\chi (\mathrm{mod}q)}{\chi \ne {\chi }_0}}\frac{L^{\prime }(k,\chi )}{L(k,\chi )}-O(1)$

Esta expressão é chave para a demonstração do teorema de Dirichlet, pois podemos concluir que o teorema é correto se o primeiro termo do segundo membro diverge quando os restantes termos permanecem dentro de uns limites. Como se obedece que $L(1,\chi )\ne 0$ quando $\chi \ne {\chi }_0$ a seguinte expressão:

$\underset{k\to 1^{+}}{\lim }\frac{1}{\varphi (q)\chi (a)}\sum _{\genfrac{}{}{0ex}{}{\chi (\mathrm{mod}q)}{\chi \ne {\chi }_0}}\frac{L^{\prime }(k,\chi )}{L(k,\chi )}=\frac{1}{\varphi (q)\chi (1)}\sum _{\genfrac{}{}{0ex}{}{\chi (\mathrm{mod}q)}{\chi \ne {\chi }_0}}\frac{L^{\prime }(1,\chi )}{L(1,\chi )}=O(2)$

obtem um valor finito e, como vimos, dado que $\frac{1}{{\chi }_0(a)}\frac{L^{\prime }(k,{\chi }_0)}{L(k,{\chi }_0)}=\frac{L^{\prime }(k,{\chi }_0)}{L(k,{\chi }_0)}$ tem um polo em $s=1$ com resíduo $-1$ resulta que $\underset{k\to 1^{+}}{\lim }\frac{L^{\prime }(k,{\chi }_0)}{L(k,{\chi }_0)}=-\mathrm{\infty }$ o que implica que:

$\sum _{p=a(\mathrm{mod}q)}\frac{\ln (p)}{p}=$$\underset{k\to 1^{+}}{\lim }\sum _{p=a(\mathrm{mod}q)}\frac{\ln (p)}{p^k}=$$\frac{-1}{\varphi (q)}(\underset{k\to 1^{+}}{\lim }\frac{L^{\prime }(k,{\chi }_0)}{L(k,{\chi }_0)}+O(2))+O(1)=$$\mathrm{\infty }$

o que prova o teorema.

Ver também

• Teorema de Green-Tao