Fórmula de Leibniz

A fórmula de Leibniz, em referência a Gottfried Wilhelm Leibniz, é uma fórmula usada para encontrar a derivada de uma integral da forma:$$\underset{a(x)}{\overset{b(x)}{\int }}f(x,t)dt,$$em que $a(x)$, $b(x)$ e $f(x,t)$ são funções dependentes de $x$. Adicionalmente, $a(x)$ e $b(x)$ devem ser funções deriváveis em $x$ com derivadas contínuas, enquanto $f(x,t)$ e sua derivada parcial em relação a $x$ também devem ser funções contínuas em $x$ e $t$.

Nessas condições a fórmula é expressa como:$$\frac{d}{dx}(\underset{a(x)}{\overset{b(x)}{\int }}f(x,t)dt)=f(x,b(x))\cdot \frac{d}{dx}b(x)-f(x,a(x))\cdot \frac{d}{dx}a(x)+\underset{a(x)}{\overset{b(x)}{\int }}\frac{\partial }{\partial x}f(x,t)dt$$em que na última integral faz-se uso de uma derivada parcial em $f(x,t)$ com respeito a $x$.

Escrevendo o lado direito da fórmula na notação de Lagrange tem-se:$$\frac{d}{dx}(\underset{a(x)}{\overset{b(x)}{\int }}f(x,t)dt)=f(x,b(x))\cdot b^{\prime }(x)-f(x,a(x))\cdot a^{\prime }(x)+\underset{a(x)}{\overset{b(x)}{\int }}{f}_x(x,t)dt.$$No caso especial em que $a(x)$ e $b(x)$ são funções constantes (não dependem de $x$), $a(x)=a$ e $b(x)=b$, obtemos a relação:$$\frac{d}{dx}(\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x,t)dt)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{\partial }{\partial x}f(x,t)dt.$$Outro caso especial é dado quando $a(x)=a$ e $b(x)=x$, sendo útil na demonstração da fórmula de Cauchy para integrações repetidas utilizando o princípio de indução finita:$$\frac{d}{dx}(\underset{a}{\overset{x}{\int }}f(x,t)dt)=f(x,x)+\underset{a}{\overset{x}{\int }}\frac{\partial }{\partial x}f(x,t)dt.$$

Exemplos

Exemplo 1

Para computar a integral de Dirichlet $\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{senx}{x}dx=\frac{\pi }{2}$ , considere a seguinte função

$f(y)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{senx}{x}{e}^{-xy}dx$

tal que, $f(0)$ é o valor procurado e sabe-se que $\underset{y\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(y)=0.$

$f^{\prime }(y)=-\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}senx{e}^{-xy}dx$

integrando por partes duas vezes

$\int senx{e}^{-xy}dx=\frac{-e^{-xy}(cosx+ysenx)}{1+y^2}$

portanto

$f^{\prime }(y)=-\frac{1}{1+y^2}$

integrando de 0 a infinito de ambos os lados

$\underset{y\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(y)-f(0)=-\frac{\pi }{2}$

$f(0)=\frac{\pi }{2}$

Exemplo 2

Para computar a Integral Gaussiana $\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x^2}dx=\sqrt{\pi }$ , reescreve a integral

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x^2}dx=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x^2}dx+\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{0}{\int }}{e}^{-x^2}dx$.

Sabendo que, se $f$ for uma função par (prova no final),

$\underset{0}{\overset{a}{\int }}f=\underset{-a}{\overset{0}{\int }}f$

e como $e^{-x^2}$ é par, a integral Gaussina pode ser escrita como

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x^2}dx=2\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x^2}dx$.

Faça a seguinte notação$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x^2}dx=I$. Considere a seguinte função

$f(x)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{e^{-x^2(1+y^2)}}{1+y^2}dy$

$f^{\prime }(x)=-2x{e}^{-x^2}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-(xy{)}^2}dy$

fazendo $xy=u$

$f^{\prime }(x)=-2e^{-x^2}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-(u{)}^2}du=-2e^{-x^2}I$

integrando de 0 a infito de ambos os lados

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(x)-f(0)=-2I\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x^2}dx$

$-\frac{\pi }{2}=-2I^2$

$2I=\sqrt{\pi }.$

Antes de provar que, para uma $f$ par, $\underset{0}{\overset{a}{\int }}f=\underset{-a}{\overset{0}{\int }}f.$ Considere a afirmação: Se $f$ for par, então $g$ é ímpar, tal que $\int f=g$. Prova:

Defina $F(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}f(t)dt$.

$F(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}f(t)dt=\underset{0}{\overset{x}{\int }}f(-t)dt$

fazendo $u=-t$

$F(x)=\underset{0}{\overset{-x}{\int }}f(u)du=F(-x).$