Fórmula de Cauchy para integrações repetidas

A Fórmula de Cauchy para integrações repetidas ou sucessivas, enunciada por Augustin Louis Cauchy, permite compactar n antidiferenciações de uma função em uma integral simples (cf. Fórmula de Cauchy).

Caso escalar

Seja ƒ uma função contínua na reta real. Então a n-ésima antiderivada de ƒ,

$f^{(-n)}(x)=\underset{a}{\overset{x}{\int }}\underset{a}{\overset{{\sigma }_1}{\int }}\cdots \underset{a}{\overset{{\sigma }_{n-1}}{\int }}f({\sigma }_n)d{\sigma }_n\cdots d{\sigma }_{2}d{\sigma }_1,$

é dada pela simples integração

$f^{(-n)}(x)=\frac{1}{(n-1)!}\underset{a}{\overset{x}{\int }}{(x-y)}^{n-1}f(y)dy.$

Uma prova é dada por indução. Desde que ƒ seja contínua, o caso mais simples é dado por

$\frac{d}{dx}{f}^{(-1)}(x)=\frac{d}{dx}\underset{a}{\overset{x}{\int }}f(y)dy=f(x).$

Um pequeno trabalho demonstra também

$\frac{d}{dx}{f}^{(-n)}(x)=\frac{d}{dx}\frac{1}{(n-1)!}\underset{a}{\overset{x}{\int }}{(x-y)}^{n-1}f(y)dy=f^{[n-1]}(x).$

Portanto, ƒ^(-n)(x) resulta na n-ésima antiderivada de ƒ(x).

Ver também

• Cálculo Fracionário
• Derivada
• Integral Múltipla
• Métodos de Integração
• Primitiva
• Tábua de integrais

Referências

• Gerald B. Folland, Advanced Calculus, p. 193, Prentice Hall (2002). ISBN 0-13-065265-2

Ligações externas

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