Primitiva

Predefinição:Mais-fontes Predefinição:Contextualizar Em matemática, se $A$ é um conjunto de números reais e $f$ é uma função de $A$ em $R$, diz-se que uma função $F$ de $A$ em $R$ é uma primitiva ou antiderivada de $f$ se a derivada de $F$ for igual a $f$. Se f tiver uma primitiva, diz-se que $f$ é primitivável. Pode-se provar que, se $A$ for um intervalo com mais do que um ponto:

• quaisquer duas primitivas diferem por uma constante, ou seja, se F₁ e F₂ forem primitivas de $f$, então F₁ − F₂ é constante;
• se $f$ for contínua então f é primitivável, o que resulta do teorema fundamental do cálculo.

Quando se primitiva uma função num intervalo (aberto, fechado ou semiaberto) obtém-se uma família de primitivas na forma:

$\int f(x)dx=F(x)+C,C\in ℝ$

Primitivas básicas

Para fazer primitivas básicas de uma função é preciso ter o domínio de derivadas, pois este fato é preponderante, tendo uma função $F(x)$ na qual sua primitiva básica será uma função $f(x)+C$, em que $C$ é uma constante, a derivada de $f(x)+C$ terá como resultado a função $F(x)$, pode-se concluir que $\frac{df}{dx}+\frac{dC}{dx}=F(x)$

O uso de primitivas básicas é muito importante porque seus conceitos são de extrema relevância para o teorema fundamental do cálculo.

Existem várias primitivas básicas, dentre as quais:

1- a função $F(x)=x^n$ em que n ≠ -1, sua primitiva geral é $f(x)=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$

2- $f(x)=x^{-1}$ ou $f(x)=\frac{1}{x}$, então $F(x)=\ln (x)+C$ é a primitiva geral de f(x),pois $f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}=F(x)$

3 -seja $F(x)=e^x$, então $f(x)=e^x+C$ é a primitiva geral, pois $f^{\prime }(x)=e^x=F(x)$

4 -se $F(x)=b^x$, sua primitiva geral será $f(x)=\frac{b^x}{\ln (x)}+C$+, pois $f^{\prime }(x)=b^x=F(x)$

5- a função $F(x)=\cos (x)$ , sua primitiva geral é $f(x)=\sin (x)+C$

6- se $F(x)=\sin (x)$, sua primitiva geral $f(x)=-\cos (x)+C$

7 - $F(x)={\sec }^2(x)$, primitiva geral é $f(x)=\tan (x)+C$

8 - se $F(x)=-{\csc }^2(x)$, sua primitiva geral é $f(x)=\cot (x)+C$

9- $F(x)=\sec (x)\cdot \tan (x)$, sua primitiva geral é $f(x)=\sec (x)+C$

10 - a função $F(x)=\csc (x)\cdot \cot (x)$, sua primitiva geral é $f(x)=\csc (x)+C$

11-seja $F(x)+G(x)$, $Z(x)-H(x)$ ou $V(x)+J(x)-W(x)$, suas primitivas são $f(x)+g(x)+C$,

$z(x)-h(x)+c$ e $v(x)+j(x)-w(x)+C$

Exemplo no cálculo de uma primitiva

1) $F(x)=x^2$

$f(x)=\frac{x^{(2+1)}}{(2+1)}+C=\frac{X^3}{3}+C$

2) $G(x)={\sec }^2$

$g(x)=\tan (x)+C$

3) $H(x)-K(x)=e^x-\cos (x)$

$h(x)-k(x)=e^x-\sin (x)+C$

4) $F(x)+G(x)=\frac{1}{x}+x^n$, sua primitiva geral é $f(x)+g(x)=\ln (x)+\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$

$Z(x)-H(x)=\cos \dot{(}x)-e^x$, sua primitiva geral é $z(x)-h(x)=\sin (x)-e^x+C$

$V(x)+J(x)-W(x)=\sin (x)+b^x-e^x$, sua primitiva geral é $v(x)+j(x)-w(x)=-\cos (x)+\frac{b^x}{\ln (x)}-e^x+C$

4) $Psen\sqrt{x}$

Usaremos os métodos da primitivação por substituição e da primitivação por partes.

Façamos a seguinte substituição: $\sqrt{x}=t$

Temos então que:

$x=t^2\frac{dx}{dt}=2t$

Substituindo ficamos então com:

$Psen\sqrt{x}=Psen(t)2t$

Aplicamos agora a primitivação por partes

$u^{\prime }=sentu=-cost$

$v=2t{v}^{\prime }=2$

$Psen(t)2t=-cos(t)2t-P2(-cos(t))=-cos(t)2t+2Pcos(t)=$

$=-cos(t)2t+2.sen(t)+C=2(-t.cos(t)+sen(t))+C$

fazendo agora a substituição inicial $t=\sqrt{x}$ temos o resultado final:

$Psen\sqrt{x}=2(-\sqrt{x}.cos\sqrt{x}+sen\sqrt{x})+C$

Ver também

• Integral

Ligações externas

• Predefinição:Link