Calota esférica

Uma calota esférica, em geometria, é a parte de uma esfera cortada por um plano. Se tal plano passa pelo centro da esfera, logicamente, a altura da calota é igual ao raio da esfera, e a calota esférica será uma hemiesfera (semiesfera).

Ficheiro:Casquete 3D.stl Se o raio da esfera é $r,$ o raio da base da calota $a,$ e a altura da calota $h,$ o volume da calota esférica será:

$\frac{1}{6}\pi h(3a^2+h^2)$

Outra expressão para encontrar o volume da calota esférica, em função do raio da esfera e da altura h, é:

$\frac{1}{3}\pi h^2(3r-h)$

e a área superficial da calota esférica $2\pi rh.$

Demonstracão da fórmula do volume da calota

O volume de uma abertura de ângulo sólido subtraído do volume do cone interior a essa abertura representa o volume da calota esférica, logo, tem-se:

Volume da abertura(V1):

Recorde-se que, pela definição de ângulo sólido, o volume de abertura subentendido pelo ângulo sólido é proporcional ao volume da esfera. Ou seja, isso se traduz para:

$V1=\frac{\mathrm{\Omega }}{4\pi }Volum{e}_{esfera}$, onde é sabido que, para este caso, $\mathrm{\Omega }=\frac{A_{calota}}{r^2}$. Por conseguinte, tem-se:

$V1=\frac{Are{a}_{calota}}{Are{a}_{esfera}}Volum{e}_{esfera}$

$V1=\frac{2\pi rh}{4\pi r^2}\frac{4}{3}\pi r^3$

$V1=\frac{2}{3}\pi r^{2}h$

Volume do cone(V2):

$V2=\frac{\pi h}{3}(2r-h)(r-h)$

Volume da calota esférica:

$V1-V2=V_{calota}=\frac{1}{3}\pi h^2(3r-h)$

Ligações externas

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