Condição de contorno de Neumann

Em matemática, a condição de contorno de Neumann (ou de segundo tipo) é um tipo de condição de contorno, nomeada devido a Carl Neumann. Quando aplicada a uma equação diferencial ordinária ou parcial, especifica os valores que a derivada de uma solução deve tomar no contorno do domínio. Enquanto a Condição de contorno de Dirichlet especifica o valor da função no contorno, a condição de contorno de Neumann especifica a derivada normal à função no domínio, ou seja, é um fluxo.

No caso de uma equação diferencial ordinária, por exemplo tal como:

$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}+3y=1$

no intervalo [0,1] as condições de contorno de Neumann tomam a forma:

$\frac{dy}{dx}(0)={\alpha }_1$

$\frac{dy}{dx}(1)={\alpha }_2$

onde α₁ e α₂ são números dados.

Para uma equação diferencial parcial em um domínio $\mathrm{\Omega }\subset {ℝ}^n$ tal como:

${\mathrm{\nabla }}^{2}y=0$

onde ${\mathrm{\nabla }}^2$ denota o Laplaciano, a condição de contorno de Neumann toma a forma:

$\frac{\partial y}{\partial n}(x)=f(x)\mathrm{\forall }x\in \partial \mathrm{\Omega }.$

Aqui, n denota a normal (tipicamente exterior) ao contorno ∂Ω e f é uma função escalar dada. A derivada normal a qual surge no lado esquerdo é definida como:

$\frac{\partial y}{\partial n}(x)=\mathrm{\nabla }y(x)\cdot 𝐧(x)$

onde $\mathrm{\nabla }$ é o (vetor) gradiente e o ponto é o produto interno com o vetor normal n.

Ver também

• Condição de contorno de Dirichlet
• Condição de contorno mista
• Condição de contorno de Cauchy
• Condição de contorno de Robin