Fórmula de Binet-Cauchy

Em matemática, e mais precisamente em álgebra linear, a fórmula de Cauchy-Binet é uma fórmula que generaliza o teorema de Binet. A fórmula é útil no cálculo do determinante do produto de duas matrizes em um caso mais geral que aquele considerado no teorema de Binet.

Enunciado

Seja $R$ um anel comutativo possuindo elemento multiplicativo idêntico, isto é, um anel comutativo com unidade. Sejam $A$ e $B$ matrizes em ${\mathrm{Mat}}_{m,n}(R)$ e ${\mathrm{Mat}}_{n,m}(R)$, respectivamente. Se ${ℐ}_{n,m}$ denota o conjunto de $m$-tuplas estritamente crescentes com componentes em $\{1,\dots ,n\}$, das quais há $\mathrm{card}({ℐ}_{n,m})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m})$, e se $A_{m,I}\in {\mathrm{Mat}}_{m,m}(R)$ é obtida de $A$ quando selecionadas as colunas de acordo com $I$, e $B_{I,m}$ é obtida de $B$ selecionando linhas similarmente, então

$\det AB=\sum _{I\in {ℐ}_{n,m}}\det (A_{m,I})\det (B_{I,m})$,

se $n\ge m$ e $\det (AB)=0$ caso contrário.

Prova

Se $I=(i_1,\dots ,i_m)$ está em ${ℐ}_{n,m}$, escreveremos $e_I=(e_{i_1},e_{i_2},\dots ,e_{i_m})$, $\tilde{I}=\{i_1,i_2,\dots ,i_m\}$. Consideraremos um elemento de $R^n$ como uma matriz em ${\mathrm{Mat}}_{1,n}(R)$. Se $m$ é um inteiro positivo, escreveremos $\{k\mid (k\in \mathbb{Z})\mathrm{\&}(1\le k\le m)\}=[m]$.

A multilinearidade alternada de $\det :\underset{k\text{ copias}}{\underbrace{R^k\times R^k\times \cdots \times R^k}}\to R$ para um anel comutativo com unidade será usada. Para ver por que $\det$ detém essa propriedade, dada uma função $[k]\times [k]\to R:(i,j)\mapsto a_{i,j}$, i.e. uma matriz em ${\mathrm{Mat}}_{k,k}(R)$, para a qual existem $r,s\in [k]$ com $r\ne s$ e $a_{r,i}=a_{s,i}$ para todo $i\in [k]$, note que temos a partição do conjunto $\mathrm{Sym}(k)=\mathrm{Alt}(k)\bigsqcup (\mathrm{Alt}(k)\cdot (rs))$. Daí, uma vez que toda permutação em $\mathrm{Alt}(k)\cdot (rs)$ tem sinal $-1$, temos

$\sum _{\sigma \in \mathrm{Sym}(k)}\mathrm{sgn}(\sigma )a_{1,\sigma (1)}{a}_{2,\sigma (2)}\dots a_{k,\sigma (k)}=\sum _{\beta \in \mathrm{Alt}(k)}(a_{1,\beta (1)}\dots a_{r,\beta (r)}\dots a_{s,\beta (s)}\dots a_{k,\beta (k)})-\sum _{\beta \in \mathrm{Alt}(k)}(a_{1,\beta (1)}\dots a_{r,\beta (s)}\dots a_{s,\beta (r)}\dots a_{k,\beta (k)})$.

Pela comutatividade de $R$,

$\sum _{\sigma \in \mathrm{Sym}(k)}\mathrm{sgn}(\sigma )a_{1,\sigma (1)}{a}_{2,\sigma (2)}\dots a_{k,\sigma (k)}=\sum _{\beta \in \mathrm{Alt}(k)}(a_{r,\beta (r)}{a}_{s,\beta (s)}-a_{r,\beta (s)}{a}_{s,\beta (r)})\prod _{j\in [k]\setminus \{r,s\}}{a}_{j,\beta (j)}$,

e uma vez que $a_{r,\beta (s)}=a_{s,\beta (s)}$, $a_{s,\beta (r)}=a_{r,\beta (r)}$, a soma se reduz de fato a zero. Que $\det$ é multilinear é imediato.

Voltando à prova da fórmula de Cauchy-Binet:

Fixe $A\in {\mathrm{Mat}}_{m,n}(R)$ e defina a aplicação $S_A:\underset{m\text{ copias}}{\underbrace{R^n\times R^n\times \cdots \times R^n}}\to R$ por $S_A(x_1,x_2,\dots ,x_m)=\det (A\cdot (x_1^{\mathsf{\text{T}}}{x}_2^{\mathsf{\text{T}}}\dots x_m^{\mathsf{\text{T}}}))$. Faça $y_r={\sum }_{j_r=1}^n{b}_{r,j_r}{e}_{j_r}$ e $B=(y_1^{\mathsf{\text{T}}}{y}_2^{\mathsf{\text{T}}}\dots y_m^{\mathsf{\text{T}}})$, de forma que $\det (AB)=S_A(y_1,\dots ,y_m)$. Note que $\det (A_{m,I})=S_A(e_I)$. Vê-se que a aplicação $S_A$ é multilinear alternada, logo

$S_A(y_1,\dots ,y_m)=\sum _{(j_1,j_2,\dots ,j_m)}{b}_{1,j_1}{b}_{2,j_2}\dots b_{m,j_m}{S}_A(e_{j_1},e_{j_2},\dots ,e_{j_m})$.

Se $m>n$, haverá repetição em toda lista $(e_{j_1},e_{j_2},\dots ,e_{j_m})$; tendo em vista a alternância de $S_A$, segue que $\det (AB)=S_A(y_1,\dots ,y_m)=0$.

Se $n\ge m$, a soma se estende sobre o conjunto de todas as $m$-tuplas com entradas distintas. Nesse conjunto podemos declarar duas $m$-tuplas equivalentes quando uma puder ser obtida a partir da outra por meio de uma permutação das entradas de uma delas. Trata-se de uma relação de equivalência, que particiona portanto esse conjunto. Cada classe de equivalência intersecta ${ℐ}_{n,m}$ em um, e apenas um, elemento; os outros elementos de uma classe são obtidos a partir deste representante por meio de permutações das entradas, e toda permutação em $m$ símbolos ocorre uma única vez, isto é, toda classe de equivalência está em bijeção com $\mathrm{Sym}(m)\cong \mathrm{Sym}(\tilde{I})$. Se $I$ e $J$ estão relacionados por meio de uma permutação $\sigma$, então por alternância de $S_A$, vale $S_A(e_I)=\mathrm{sgn}(\sigma )S_A(e_J)$. Essas observações nos levam a

$S_A(y_1,\dots ,y_m)=\sum _{I\in {ℐ}_{n,m}}\sum _{\sigma \in \mathrm{Sym}(\tilde{I})}{b}_{1,\sigma (i_1)}{b}_{2,\sigma (i_2)}\dots b_{m,\sigma (i_m)}{S}_A(e_{\sigma (I)})=\sum _{I\in {ℐ}_{n,m}}(\sum _{\sigma \in \mathrm{Sym}(\tilde{I})}\mathrm{sgn}(\sigma )b_{1,\sigma (i_1)}\dots b_{m,\sigma (i_m)})S_A(e_I)$.

Mas

$\det ({B_{I,m}}^{\mathsf{\text{T}}})=\sum _{\sigma \in \mathrm{Sym}(\tilde{I})}\mathrm{sgn}(\sigma )b_{1,\sigma (i_1)}\dots b_{m,\sigma (i_m)}$,

e como uma matriz quadrada e sua transposta têm o mesmo determinante, fica provada a fórmula. Que o determinante preserva produtos entre matrizes quadradas de mesma dimensão $m$ é consequência imediata, pois em tal caso ${ℐ}_{𝓂,𝓂}=\{I_0=(1,2,\dots ,m)\}$, reduzindo a soma a $\det (A_{m,I_0})\det (B_{I_0,m})=\det (A)\det (B).$ A fórmula também implica que para qualquer matriz $C\in {\mathrm{Mat}}_{m,n}(R)$, $n\ge m,$ com entradas em um anel comutativo com unidade, $\det (C{C}^{\mathsf{\text{T}}})$ é uma soma de quadrados; de fato, é a soma dos quadrados dos menores de $C$ de ordem $m$.

Ligações externas

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Referências

Predefinição:En Joel G. Broida & S. Gill Williamson. A Comprehensive Introduction to Linear Algebra, §4.6 Cauchy-Binet theorem, pp. 208–14, Addison-Wesley, 1989, ISBN 0-201-50065-5.

Predefinição:En Shafarevich, Igor R., Remizov, Alexey O. Linear Algebra and Geometry, §2.9 (p. 68) & §10.5 (p. 377), Springer, 2012, ISBN 978-3-642-30993-9.