J-invariante

Em matemática, Klein j-invariantePredefinição:Nota de rodapé, tida como uma função de uma variável complexa τ, é uma função modular definida sobre o semiplano superior de números complexos.

Nós temos:

Klein j-invariante em um plano complexo.

$j(\tau )=1728\frac{g_2^3}{\mathrm{\Delta }}.$

O discriminante modular $\mathrm{\Delta }$ é definido como

$\mathrm{\Delta }=g_2^3-27g_3^2.$

O numerador e denominador acima são em termos dos invariantes modulares $g_2$ and $g_3$ das Funções elípticas de Weierstrass.

$g_2=60\sum _{(m,n)\ne (0,0)}(m+n\tau {)}^{-4},g_3=140\sum _{(m,n)\ne (0,0)}(m+n\tau {)}^{-6}$

e o discriminante modular.

Estes têm as propriedades que

$g_2(\tau +1)=g_2(\tau ),g_2(-{\tau }^{-1})={\tau }^4{g}_2(\tau )$

$\mathrm{\Delta }(\tau +1)=\mathrm{\Delta }(\tau ),\mathrm{\Delta }(-{\tau }^{-1})={\tau }^{12}\mathrm{\Delta }(\tau )$

e possuem as propriedades analíticas, tornando-os formas modulares. Δ  é uma forma modular de peso 12 pelo demonstrado acima, e $g_2$ um de peso 4, de modo que o sua terceira potência é também de peso 12. O quociente é, portanto, uma função de modular de peso zero, o que significa j tem a propriedade absolutamente invariante que

$j(\tau +1)=j(\tau ),j(-{\tau }^{-1})=j(\tau ).$