Análise de estabilidade de Von Neumann

Na análise numérica, a Análise de estabilidade de Von Neumann (também conhecida como análise de estabilidade de Fourier) é um procedimento usado para verificar a estabilidade de métodos de diferenças finitas quando aplicados em equações diferenciais parciais. A análise é baseada na decomposição de Fourier do Erro numérico e foi desenvolvida no Laboratório Nacional de Los Alamos depois de ter sido brevemente descrita em um artigo de 1947 pelos pesquisadores britânicos John Crank e Phyllis Nicolson. Depois, foi dado um tratamento mais rigoroso ao método em um artigo co-escrito por John von Neumann.

Estabilidade numérica

A estabilidade de métodos numéricos está intimamente associada ao erro numérico. Um método de diferenças finitas é estável se os erros produzidos em um passo de tempo do cálculo não provocam um aumento dos erros à medida que os cálculos avançam. Há 3 classes de métodos numéricos. Um método numérico condicionalmente estável depende de certos parâmetros para que os erros permaneçam limitados e não instabilizem. Se os erros diminuírem ou chegarem a desaparecer, o método numérico é dito como sendo estável. Se, de outra forma, os erros aumentarem com o tempo, a solução numérica irá divergir em relação à realidade (solução exata) e então o método numérico é dito como sendo instável. A estabilidade de métodos numéricos pode ser averiguada pela análise de estabilidade de von Neumann. Para problemas dependentes do tempo, a estabilidade garante que o método numérico produza uma solução limitada sempre que a solução da equação diferencial for limitada. Estabilidade em geral, pode ser dificilmente averiguada, especialmente se a equação em questão for não-linear.

A estabilidade de von Neumann é necessária e sucifiente (tal como utilizado no Teorema de Equivalência de Lax) apenas em certos casos: a EDP e o método de diferenças finitas devem ser lineares; a EDP precisa ter condições iniciais e de fronteira e ser no máximo de segunda ordem. Devido à sua relativa simplicidade, a análise de von Neumann é geralmente usada no lugar de uma análise de estabilidade mais detalhada por ser um bom palpite em relação às restrições dos passos usados no método.

Ilustração do método

O método de von Neumann é baseado na decomposição dos erros em séries de Fourier. Para ilustrar o procedimento, considere Equação do calor unidimensional

$\frac{\partial u}{\partial t}=\alpha \frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}$

definida no intervalo $L$, e discretizando pelo método FTCS

$(1)u_j^{n+1}=u_j^n+r(u_{j+1}^n-2u_j^n+u_{j-1}^n)$

onde

$r=\frac{\alpha \mathrm{\Delta }t}{\mathrm{\Delta }{x}^2}$

e a solução $u_j^n$ da equação discretizada se aproxima da solução analítica $u(x,t)$ da EDP na malha.

Definimos o Erro de arredondamento (também chamado de erro de truncamento) ${ϵ}_j^n$ como

${ϵ}_j^n=U_j^n-u_j^n$

onde $u_j^n$ é a solução da equação discretizada (1) que seria calculada sem os erros de truncamento, e $U_j^n$ é a solução numérica obtida com precisão finita. Já que a solução exata $u_j^n$ deve satisfazer a equação discretizada, o erro ${ϵ}_j^n$ também deve satisfazer a equação discretizada. Portanto

$(2){ϵ}_j^{n+1}={ϵ}_j^n+r({ϵ}_{j+1}^n-2{ϵ}_j^n+{ϵ}_{j-1}^n)$

é uma relação de recorrência para o erro. Equações (1) e (2) mostram que ambos os erros e a solução numérica tem o mesmo crescimento ou decaimento em relação ao tempo. Para equações diferenciais lineares com condições de contorno, a variação espacial do erro pode ser expandida em séries de Fourier, no intervalo $L$, como

$(3)ϵ(x)=\sum _{m=1}^{N/2}{A}_m{e}^{i{k}_{m}x}$

onde o Número de onda $k_m=\frac{\pi m}{L}$ com $m=1,2,\dots ,M$, $M=\frac{L}{\mathrm{\Delta }x}$ e $N$ sendo uma incógnita. A dependência no tempo do erro é incluída assumindo-se que a amplitude do erro $A_m$ está em função do tempo. Já que o erro tende a crescer ou decair exponencialmente com o tempo, é sensato assumir que a amplitude varia exponencialmente com o tempo; daí

$(4)ϵ(x,t)=\sum _{m=1}^{N/2}{e}^{at}{e}^{i{k}_{m}x}$

onde $a$ é uma constante.

Já que a equação diferencial do erro é linear (o comportamento de cada tempo da série é o mesmo que o dá série), podemos então considerar que o crescimento do erro de um dado termo é:

$(5){ϵ}_m(x,t)=e^{at}{e}^{i{k}_{m}x}$

As característica da estabilidade podem ser estudadas usando apenas esta forma para o erro, sem grandes perdas em geral. Para descobrir como o erro varia nos espaços de tempo, substituimos (5) na equação (2), notando que

• $\begin{array}{cc}{ϵ}_j^n& =e^{at}{e}^{i{k}_{m}x}\\ {ϵ}_j^{n+1}& =e^{a(t+\mathrm{\Delta }t)}{e}^{i{k}_{m}x}\\ {ϵ}_{j+1}^n& =e^{at}{e}^{i{k}_m(x+\mathrm{\Delta }x)}\\ {ϵ}_{j-1}^n& =e^{at}{e}^{i{k}_m(x-\mathrm{\Delta }x)},\end{array}$

dando (depois de simplificar)

$(6)e^{a\mathrm{\Delta }t}=1+\frac{\alpha \mathrm{\Delta }t}{\mathrm{\Delta }{x}^2}(e^{i{k}_m\mathrm{\Delta }x}+e^{-i{k}_m\mathrm{\Delta }x}-2).$

Usando as identidades

$\cos (k_m\mathrm{\Delta }x)=\frac{e^{i{k}_m\mathrm{\Delta }x}+e^{-i{k}_m\mathrm{\Delta }x}}{2}\text{and}{\sin }^2\frac{k_m\mathrm{\Delta }x}{2}=\frac{1-\cos (k_m\mathrm{\Delta }x)}{2}$

equação (6) pode ser reescrita como

$(7)e^{a\mathrm{\Delta }t}=1-\frac{4\alpha \mathrm{\Delta }t}{\mathrm{\Delta }{x}^2}{\sin }^2(k_m\mathrm{\Delta }x/2)$

Definimos então o fator de amplitude

$G\equiv \frac{{ϵ}_j^{n+1}}{{ϵ}_j^n}$

A condição necessária e suficiente para o erro se manter limitado é que, $|G|\le 1.$ Contudo,

$(8)G=\frac{e^{a(t+\mathrm{\Delta }t)}{e}^{i{k}_{m}x}}{e^{at}{e}^{i{k}_{m}x}}=e^{a\mathrm{\Delta }t}$

Daí, das equações (7) e (8), a condição para a estabilidade é dada por

$(9)|1-\frac{4\alpha \mathrm{\Delta }t}{\mathrm{\Delta }{x}^2}{\sin }^2(k_m\mathrm{\Delta }x/2)|\le 1$

Para a condição acima manter todos os ${\sin }^2(k_m\mathrm{\Delta }x/2)$, temos

$(10)\frac{\alpha \mathrm{\Delta }t}{\mathrm{\Delta }{x}^2}\le \frac{1}{2}$

Equação (10) dá o requisito de estabilidade para o método FTCS quando aplicado a equação unidimensional do calor. Ela diz que para um determinado $\mathrm{\Delta }x$,o valor permitido de $\mathrm{\Delta }t$ deve ser pequeno o bastante para satisfazer a equação (10).

Ver também

• Método de Lax–Friedrichs