Ideal (teoria da ordem)

Predefinição:Sem notas Na área matemática da teoria da ordem, um ideal num conjunto parcialmente ordenado ⟨A,≤⟩ é um subconjunto I de A com propriedades específicas. Esse conceito é uma generalização do de ideal em teoria dos anéis e tem considerável importância na teoria da ordem e na de reticulados, incluindo as Álgebras de Boole.

Definições

Dado um conjunto parcialmente ordenado $⟨A,\le ⟩$, um ideal é um subconjunto não vazio $I^{}$ com as seguintes propriedades:

$\mathrm{𝟏}\mathbf{.}\text{ Se }x\in I\text{ e }y\le x\text{, então }y\in I$

$\mathrm{𝟐}\mathbf{.}\text{ Se }x,y\in I\text{, então }\mathrm{\exists }z\in I\text{ tal que }x\le z\text{ e }y\le z$

A propriedade 2 especifica que $I$ é um conjunto direcionado. Na definição original em reticulados, essa propriedade é substituída por:

${\mathrm{𝟐}}^{\mathbf{*}}\mathbf{.}\text{ Se }x,y\in I\text{, então }x\vee y\in I$

pois 2 e 2* são equivalentes em reticulados.

Um ideal $I^{}$ num conjunto ordenado $⟨A,\le ⟩$ é denominado principal se existe um $i\in I^{}$ tal que

$I=\{x\in A:i\le x\}$

Nesse caso, diz-se que $I^{}$ é gerado por $i^{}$.

Um ideal $I^{}$ é denominado primo, se toda vez que $x\wedge y\in I$ temos $x\in I$ ou $y\in I$.

Veja também

• Filtro (teoria dos conjuntos)
• Ideal (teoria dos anéis)
• Ideal (teoria dos conjuntos)

Bibliografia

• Predefinição:Citar livro

• Predefinição:Citar livro

• Predefinição:Citar livro

• Predefinição:Citar livro

• Predefinição:Citar livro

• Predefinição:Citar livro