Filtro (teoria dos conjuntos)

Em matemática, especialmente em teoria dos conjuntos, um filtro $F^{}$ em um conjunto $S^{}$ é uma coleção de subconjuntos de $S^{}$, ou seja, $F\subset 𝒫\left(S\right)$, satisfazendo as seguintes condições:

• $\varnothing \notin F$
• $S\in F$
• $A,B\in F\to A\cap B\in F$
• $A\in F,A\subset B\to B\in F$

Por vezes, a definição não inclui a propriedade $\varnothing \notin F$. Com essa definição, os filtros com esta propriedade chamam-se filtros próprios.

Exemplo

• Seja X um espaço topológico e $x\in X$. Então a coleção das vizinhanças de x é um filtro.

Reticulados e álgebras de Boole

Analogamente, em reticulados L um filtro $F^{}$ é um conjunto não vazio de elementos de L definido por:

• $a,b\in F\to a\wedge b\in F$

• $a\in F,a\le b\to b\in F$

Numa álgebras de Boole com máximo $1\text{I}$ e mínimo $𝕆$, às condições anteriores são acrescentadas:

• $𝕆\in ̸F$

• $1\text{I}\in F$

Em álgebras de Boole, o filtro é o conceito dual do ideal.

Filtros principais

Se um filtro $F^{}$ sobre $A^{}$ tem a forma:

$F=\{x\in A:x\ge a\}$

com $a\in A$, então $F^{}$ é o filtro principal gerado por $a^{}$. Numa álgebra de Boole finita todo filtro é principal.

Um exemplo de filtro não principal é o "filtro de Frechet":

$F=\{x\in 𝒫\left(\mathbb{N}\right):x\text{ é cofinito }\}$

Um conjunto $x\subseteq \mathbb{N}$ é denominado cofinito se o seu complemento relativo a $\mathbb{N}$ é finito, ou seja $\mathbb{N}-x$ é finito. Por exemplo:

$C=\{x\in \mathbb{N}:x>7\}$

é cofinito, pois o seu complemento é:

$D=\{0;1;2;3;4;5;6;7\}$

e $D^{}$ é finito.

Ultrafiltros

Um ultrafiltro $U^{}$ é um filtro maximal, no seguinte sentido: não existe um filtro $F^{}$ tal que $U\subset F$. Por exemplo, seja $A$ um conjunto não vazio com $a\in A$:

$U=\{x\in 𝒫\left(A\right):a\in x\}$

é um ultrafiltro. Nesse caso, $U^{}$ é o ultrafiltro principal, gerado por $a^{}$. Analogamente, se $A^{}$ é uma álgebra de Boole e $a^{}$ é um átomo em $A$, então $U=\{x\in A:a\le x\}$ é o ultrafiltro principal gerado por $a$.

Usando o axioma da escolha pode ser demonstrado que o todo filtro numa álgebra de Boole pode ser estendido a um ultrafiltro. Usando esse resultado, o filtro de Frechet pode ser estendido a um ultrafiltro, demonstrando a existência de ultrafiltros não principais.