Ultrafiltro

Em matemática, especialmente na Teoria da ordem e na Teoria de conjuntos, um ultrafiltro é um filtro próprio maximal, ou seja, um filtro próprio que não está estritamente contido num outro filtro próprio. Ultrafiltros têm aplicações em topologia, teoria de modelos e outras áreas da matemática.

Definições

Em teoria de conjuntos, seja $A^{}$ um conjunto não vazio e $𝒫\left(A^{}\right)$ o conjunto de partes de $A^{}$. Um ultrafiltro $F\subseteq A$ tem as seguintes propriedades:

Diagrama de Hasse do ultrafiltro principal gerado por {x}

$\mathrm{𝟏}\mathbf{.}\text{ Se }x\in F\text{ e }x\subseteq y\text{, então }y\in F\text{ para }x,y\in 𝒫\left(A^{}\right)$

$\mathrm{𝟐}\mathbf{.}\text{ Se }x,y\in F\text{, então }x\cap y\in F$

Ou seja, $F$ é um filtro. Além disso, $F$ é próprio:

$\mathrm{𝟑}\mathbf{.}F\ne 𝒫\left(A^{}\right)$

Ou, equivalentemente:

${\mathrm{𝟑}}^{\mathbf{*}}\mathbf{.}\varnothing \in ̸F$

Por último, $F$ é maximal:

$\mathrm{𝟒}\mathbf{.}\text{ Não existe filtro próprio }G\text{ tal que }F\subseteq G\text{ e }F\ne G$

Equivalentemente, em teoria da ordem ultrafiltros são filtros maximais. Ultrafiltros tem particular importância em reticulados e Álgebra de Boole. Dado um reticulado $⟨L,\le ⟩$ um ultrafiltro $F^{}$ é um conjunto não vazio, estritamente contido em $L^{}$, definido por:

$\mathrm{𝟏}\mathbf{.}\text{ Se }x\in F\text{ e }x\le y\text{, então }y\in F\text{, para }x,y\in L^{}$

$\mathrm{𝟐}\mathbf{.}\text{ Se }x,y\in F\text{, então }x\wedge y\in F\text{, para }x,y\in L^{}$

$\mathrm{𝟑}\mathbf{.}\text{ Não existe filtro próprio }G\text{ tal que }F\subseteq G\text{ e }F\ne G$

Numa álgebra de Boole com máximo $1\text{I}$ e mínimo $𝕆$, às condições anteriores são acrescentadas:

$\mathrm{𝟒}\mathbf{.}𝕆\in ̸F\text{ (é filtro próprio)}$

$\mathrm{𝟓}\mathbf{.}1\text{I}\in F\text{ (é não vazio)}$

Em álgebras de Boole, ultrafiltro é o conceito dual do ideal maximal.

Ultrafiltros em álgebras de Boole

Em uma álgebra de Boole $⟨B,\wedge ,\vee ,-,𝕆,1\text{I}⟩$ um filtro $F^{}$ e denominado primo se satisfaz:

• $\text{ Se }x\vee y\in F\text{, então }x\in F\text{ ou }y\in F\text{, para }x,y\in B^{}$

Como $1\text{I}\in F$ pela condição 5, para cada $x\in B^{}$ temos que $x\vee -x\in F$, de modo que a condição acima é equivalente a:

• $x\in F\text{ ou }-x\in F\text{, para }x\in B^{}$

Além disso, pode ser demonstrado que em toda álgebra de Boole um filtro $F^{}$ é primo se e somente se $F^{}$ é um ultrafiltro, ou seja, as noções de filtro primo e ultrafiltro são equivalentes em álgebras de Boole e por isso alguns autores definem ultrafiltro não como um filtro maximal, mas como um filtro primo.

Teorema do ultrafiltro

Na teoria de conjuntos de Zermelo-Fraenkel com axioma da escolha, ZFC pode ser demonstrado o Teorema do ultrafiltro, cujo enunciado habitual é: "Todo filtro numa álgebra de Boole pode ser estendido a um ultrafiltro", que abreviaremos TU. Ou seja, dada uma álgebra de Boole $⟨B,\wedge ,\vee ,-,𝕆,1\text{I}⟩$ e um filtro $F\subseteq B$, existe um ultrafiltro $U\subseteq B$ tal que $F\subseteq U$. Devido à dualidade das álgebras de Boole TU é equivalente ao Teorema do ideal primo: "todo ideal numa álgebra de Boole pode ser estendido a um ideal primo". Em ZF (sem o Axioma da escolha, AE) TU não pode ser demonstrado, se ZF é consistente. Entretanto, TU é estritamente mais fraco que AE em ZF:

$𝑍𝐹\mathit{+}𝑇𝑈⊬𝐴𝐸,\text{ se }𝑍𝐹\text{ é consistente}$

Em álgebras de Boole, TU é equivalente a "toda álgebra de Boole contém um ultrafiltro".

Bibliografia

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• Predefinição:Citar livro. Volume I de MONK BONNET (1989).

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Veja também

• Filtro (teoria dos conjuntos)
• Ideal (teoria dos anéis)
• Ideal (teoria dos conjuntos)