Teoria de campo de Liouville

Na física, teoria de campo de Liouville, ou simplesmente (teoria de Liouville) é uma teoria quântica de campos bidimensional cuja equação clássica de movimento se assemelha a equação diferencial não-linear de segunda ordem de Joseph Liouville a que aparece no problema geométrico clássico de uniformização de superfícies de Riemann.

A teoria de campo é definida pela ação local:

$S=\frac{1}{4\pi }\int d^{2}x\sqrt{g}(g^{\mu \nu }{\partial }_{\mu }\varphi {\partial }_{\nu }\varphi +(b+b^{-1})R\varphi +4\pi e^{2b\varphi }),$

onde ${\partial }_{\mu }=\partial /\partial x^{\mu },g_{\mu \nu }$ é a métrica do espaço bidimensional em que a teoria de campo é formulada, $R$ é o escalar Ricci de tal espaço, e $b$ é um acoplamento constante real. O campo $\varphi$ é consequentemente chamado de campo Liouville.

A equação de movimento associado a esta ação é ::$\mathrm{\Delta }\varphi (x)=\frac{1}{2}(b+b^{-1})R(x)+4\pi b{e}^{2b\varphi (x)}$

onde $\mathrm{\Delta }=g^{-1/2}{\partial }_{\mu }(g^{1/2}{g}^{\mu \nu }{\partial }_{\nu })$ é o operador de d'Alembert nesse espaço. No caso, a métrica do espaço sendo a métrica Euclidiana e utilizando a notação padrão, torna-se a equação clássica de Liouville.

$(\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial y^2})\varphi (x,y)=4\pi b{e}^{2b\varphi (x,y)}$