Movimento browniano geométrico

Dois caminhos de exemplo do movimento Browniano geométrico, com parâmetros diferentes. A linha azul tem maior deriva, a linha verde tem maior variância.

Um movimento browniano geométrico (MBG) (também conhecido como movimento geométrico browniano e movimento browniano exponencial) é um processo estocástico de tempo contínuo no qual o logaritmo da quantidade aleatoriamente variável segue um movimento browniano (também chamado de processo de Wiener), com deriva estocástica. É um exemplo importante de processos estocásticos que satisfazem uma equação diferencial estocástica (EDE); em particular, é usado em matemática financeira para o modelar os preços das ações no modelo Black–Scholes.

Definição formal

Um processo estocástico S_t é dito seguir um MBG se ele satisfaz a seguinte equação diferencial estocástica (EDE):

$d{S}_t=\mu S_{t}dt+\sigma S_{t}d{W}_t$

onde $W_t$ é um processo de Wiener ou movimento Browniano, e $\mu$ ("percentage drift" ou "percentagem de deriva") e $\sigma$ ("percentage volatility" ou "percentagem de volatilidade") são constantes.

O primeiro é utilizado para modelar tendências determinísticas, enquanto o último termo é muitas vezes usado para modelar um conjunto de eventos imprevisíveis que ocorrem durante este movimento.

Solução da EDE

Para um valor arbitrário inicial S₀ a EDE possui uma solução analítica (sob o cálculo de Itō):

$S_t=S_0\exp ((\mu -\frac{{\sigma }^2}{2})t+\sigma W_t)$.

Para chegar a essa fórmula, dividiremos a EDE, por $S_t$ a fim de que nossa variável aleatória escolhida tenha apenas um lado. A partir daí podemos escrever a equação anterior na forma da integral de Itō:

$\underset{0}{\overset{t}{\int }}\frac{d{S}_t}{S_t}=\mu t+\sigma W_t,\text{assumindo que }{W}_0=0$.

Claro, $\frac{d{S}_t}{S_t}$ aparenta ser relacionado à derivada de $\ln S_t$. No entanto, $S_t$ é um processo de Itō que requer o uso do cálculo de Itō. A aplicação da fórmula de Itō leva a:

$d(\ln S_t)=\frac{d{S}_t}{S_t}-\frac{1}{2}\frac{1}{S_t^2}d{S}_{t}d{S}_t$

onde $d{S}_{t}d{S}_t$ é a variação quadrática da EDE. Isso também pode ser escrito como $d[S{]}_t$ ou ${⟨S_{.}⟩}_t$. Neste caso, temos:

$d{S}_{t}d{S}_t={\sigma }^2{S}_t^{2}dt$.

Substituindo o valor de $d{S}_t$ na equação acima e simplificando obtemosː

$\ln \frac{S_t}{S_0}=(\mu -\frac{{\sigma }^2}{2})t+\sigma W_t$.

Tomando a exponencial e multiplicando ambos os lados por $S_0$ dá a solução reivindicada acima.

Propriedades

A solução acima $S_t$ (para qualquer valor de t) é uma variável aleatória com distribuição log-normal com valor esperado e variância dada porː

$𝔼(S_t)=S_0{e}^{\mu t}$,

$\mathrm{Var}(S_t)=S_0^2{e}^{2\mu t}(e^{{\sigma }^{2}t}-1)$,

isto é a função de densidade de probabilidade de uma S_t é:

$f_{S_t}(s;\mu ,\sigma ,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\frac{1}{s\sigma \sqrt{t}}\exp (-\frac{{(\ln s-\ln S_0-(\mu -\frac{1}{2}{\sigma }^2)t)}^2}{2{\sigma }^{2}t})$.

Quando se derivam outras propriedades do MBG, pode-se fazer uso da EDE de que o MBG é a solução, ou a solução explícita dada acima pode ser utilizada. Por exemplo, considere o processo estocástico de log(S_t). Este é um interessante processo, porque no modelo de Black–Scholes ela está relacionada com o log-retorno do preço das ações. Usando o cálculo de Itō com f(S) = log(S) dáː

$\begin{array}{cc}d\log (S)& =f^{\prime }(S)dS+\frac{1}{2}{f}^{\prime \prime }(S)S^2{\sigma }^{2}dt\\ & =\frac{1}{S}(\sigma Sd{W}_t+\mu Sdt)-\frac{1}{2}{\sigma }^{2}dt\\ & =\sigma d{W}_t+(\mu -{\sigma }^2/2)dt.\end{array}$

Segue-se que $𝔼\log (S_t)=\log (S_0)+(\mu -{\sigma }^2/2)t$.

Este resultado também pode ser obtido aplicando-se o logaritmo para a solução explícita do MBG:

$\begin{array}{cc}\log (S_t)& =\log (S_0\exp ((\mu -\frac{{\sigma }^2}{2})t+\sigma W_t))\\ & =\log (S_0)+(\mu -\frac{{\sigma }^2}{2})t+\sigma W_t.\end{array}$

Tomando a expectativa produz o mesmo resultado acima: $𝔼\log (S_t)=\log (S_0)+(\mu -{\sigma }^2/2)t$.

Versão multivariada 

O MBG pode ser estendido para o caso em que há múltiplos caminhos de preços correlacionados.

Cada trajetória de preço segue o processo subjacente

$d{S}_t^i={\mu }_i{S}_t^{i}dt+{\sigma }_i{S}_t^{i}d{W}_t^i$,

Onde os processos de Wiener estão correlacionados de modo que $𝔼(d{W}_t^{i}d{W}_t^j)={\rho }_{i,j}dt$ onde ${\rho }_{i,i}=1$.

Para o caso multivariado, isso implica que

$\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(S_t^i,S_t^j)=S_0^i{S}_0^j{e}^{({\mu }_i+{\mu }_j)t}(e^{{\rho }_{i,j}{\sigma }_i{\sigma }_{j}t}-1)$.

Uso em finanças

Predefinição:Artigo principal O movimento geométrico browniano é usado para modelar os preços das ações no modelo Black-Scholes e é o modelo mais utilizado no comportamento do preço das ações.

Alguns dos argumentos para usar o MBG para modelar os preços das ações são:

• Os retornos esperados do MBG são independentes do valor do processo (preço das ações), o que está de acordo com o que seria esperado na realidade.
• O MBG só assume valores positivos, assim como os preços das ações reais.
• O MBG mostra o mesmo tipo de "rugosidade" em seus caminhos como vemos nos preços das ações reais.
• Cálculos com MBG são relativamente fáceis.

No entanto, MBG não é um modelo completamente realista, em particular, fica aquém da realidade nos seguintes pontos:

• Nos preços das ações reais, a volatilidade muda ao longo do tempo (possivelmente estocasticamente), mas no MBG, a volatilidade é assumida constante.
• Na vida real, os preços das ações geralmente mostram saltos causados ​​por eventos ou notícias imprevisíveis, mas no MBG, o caminho é contínuo (sem descontinuidade).

Extensões

Em uma tentativa de fazer o MBG mais realista, como um modelo para os preços das ações, pode-se descartar a suposição de que a volatilidade ($\sigma$) é constante. Se partirmos do princípio de que a volatilidade é uma função determinística do preço das ações e do tempo, isso é chamado de modelo de volatilidade local. Se, em vez disso, assumimos que a volatilidade tem uma aleatoriedade própria — muitas vezes descrita por uma equação diferente, impulsionado por um Movimento Browniano diferente — o modelo é chamado de  modelo de volatilidade estocástica.

Veja também

• Processo estocástico

Ligações externas

• Modelos de Movimento Browniano Geométrico para movimento do estoque, exceto em eventos raros .
• R e C# Simulação de um Movimento Browniano Geométrico
• Excel Simulação de um Movimento Browniano Geométrico para simular os Preços das Ações
• Predefinição:Citar web