Distribuição log-normal

A função densidade de probabilidade da distribuição log-normal para µ=0 e diferentes valores de σ.

A função distribuição acumulada da distribuição log-normal para µ=0 e diferentes valores de σ.

Em probabilidade e estatística, uma variável aleatória é uma distribuição de probabilidade, cujo logaritmo é normalmente distribuído. Uma variável aleatória X tem a distribuição log-normal quando o seu logaritmo $Y=\log (X)$ tem a distribuição normal. Logo, sua função de densidade é

$f(x;\mu ,\sigma )=\frac{1}{x\sigma \sqrt{2\pi }}\exp [-\frac{{(\ln (x)-\mu )}^2}{2{\sigma }^2}]$

A importância da distribuição log-normal se deve a um resultado análogo ao Teorema do Limite Central: assim como uma distribuição normal aparece quando são somadas várias variáveis independentes (para ver o enunciado mais preciso, consulte o artigo sobre o teorema), a distribuição log-normal aparece naturalmente como o produto de várias variáveis independentes (sempre positivas).

Por exemplo, em Finanças, o preço de uma ação no futuro pode ser modelado como o efeito de vários pequenos ajustes independentes, ou seja:

$P_n=P_0\times (1\pm {ϵ}_1)\times \dots \times (1\pm {ϵ}_n)$

Ou seja, aplicando o log, temos que $\log P_n$ é a soma de várias variáveis aleatórias independentes, ou seja, pode ser aproximado por uma distribuição normal - portanto P_n pode ser aproximado por uma log-normal.

Média

O valor esperado de $X=\exp (Y)$, quando Y é uma variável aleatória normal, vale:

$E(X)=E(\exp (Y))=\exp (E(Y)+0.5\text{var}(Y))$

em que $\text{var}(Y)$ é a variância de Y.

Variância

A variância da log-normal também pode ser expressa em função da normal. Sendo $X=\exp (Y)$ e Y normal, temos:

$\text{var}(X)=\exp (2E(Y)+\text{var}(Y))(\exp (\text{var}(Y))-1)$

Fórmulas inversas

Seja $X=\exp (Y)$, então a média e variância de Y podem ser expressas em função da média e variância de X como:

$E(Y)=\ln (E(X))-\frac{1}{2}\ln (1+\frac{\text{var}(X)}{(E(X){)}^2}),$

$\text{Var}(Y)=\ln (\frac{\text{Var}(X)}{(E(X){)}^2}+1).$

Ligações externas

• Calculadora - Distribuição log-normal