Notação de Voigt

Em matemática, a notação de Voigt ou forma de Voigt em álgebra multilinear é um modo de representar um tensor simétrico reduzindo sua ordem. Existem algumas poucas variantes e nomes associados com esta ideia, por exemplo notação de Mandel, notação de Mandel–Voigt e notação de Nye. A notação de Kelvin é uma atualização devida a Helbig de antigas ideias de Lord Kelvin. As diferenças aqui repousam em certos pesos associados à seleção de linhas e colunas do tensor. A nomenclatura varia de acordo com a tradição no campo de aplicação.

Por exemplo, um tensor simétrico 2×2 em notação matricial

$𝑿=\left[\begin{array}{cc}{x}_{11}& x_{12}\\ x_{21}& x_{22}\end{array}\right]$

tem somente três elementos distintos, os dois da diagonal principal e o último fora desta diagonal, pois se o tensor é simétrico então os elementos com índices 12 e 21 são obrigatoriamente iguais. Assim, X pode ser expresso como o vetor

$(x_{11},x_{22},x_{12}{)}^{\mathrm{T}}$.

Como outro exemplo, o tensor tensão (em notação matricial) é expresso como

$\mathit{\sigma }=\left[\begin{array}{ccc}{\sigma }_{xx}& {\sigma }_{xy}& {\sigma }_{xz}\\ {\sigma }_{yx}& {\sigma }_{yy}& {\sigma }_{yz}\\ {\sigma }_{zx}& {\sigma }_{zy}& {\sigma }_{zz}\end{array}\right]$

Na notação de Voigt é simplificado como o vetor de seis componentes

$\tilde{\sigma }=({\sigma }_{xx},{\sigma }_{yy},{\sigma }_{zz},{\sigma }_{yz},{\sigma }_{xz},{\sigma }_{xy}{)}^{\mathrm{T}}\equiv ({\sigma }_1,{\sigma }_2,{\sigma }_3,{\sigma }_4,{\sigma }_5,{\sigma }_6{)}^{\mathrm{T}}.$

O tensor deformação, similar em natureza ao tensor tensão — ambos são tensores simétricos de segunda ordem —, é expresso em forma matricial como

$\mathit{ϵ}=\left[\begin{array}{ccc}{ϵ}_{xx}& {ϵ}_{xy}& {ϵ}_{xz}\\ {ϵ}_{yx}& {ϵ}_{yy}& {ϵ}_{yz}\\ {ϵ}_{zx}& {ϵ}_{zy}& {ϵ}_{zz}\end{array}\right]$

Sua representação na notação de Voigt é

$\widetilde{ϵ}=({ϵ}_{xx},{ϵ}_{yy},{ϵ}_{zz},2{ϵ}_{yz},2{ϵ}_{xz},2{ϵ}_{xy}{)}^{\mathrm{T}}\equiv ({ϵ}_1,{ϵ}_2,{ϵ}_3,{ϵ}_4,{ϵ}_5,{ϵ}_6{)}^{\mathrm{T}},$

sendo ${\gamma }_{xy}=2{ϵ}_{xy}$, ${\gamma }_{yz}=2{ϵ}_{yz}$ e ${\gamma }_{zx}=2{ϵ}_{zx}$ as deformações cisalhantes de engenharia.

A grande vantagem em usar diferentes representações para tensões e deformações é que a invariância escalar

$\mathit{\sigma }\cdot \mathit{ϵ}={\sigma }_{ij}{ϵ}_{ij}=\tilde{\sigma }\cdot \widetilde{ϵ}$

é preservada.

Da mesma forma, um tensor simétrico de quarta ordem pode ser reduzido a uma matriz 6×6.

Regra mnemônica

Regra mnemónica fácil de memorizar a notação de Voigt para um tensor de segunda ordem 3×3:

• Escrever o tensor em forma matricial (no exemplo a seguir o tensor tensão)
• Eliminar a parte diagonal inferior
• Ponto de partida: Riscar a diagonal principal a partir do elemento de índices 11 (primeira linha e primeira coluna) ate o elemento de índice 33 (terceira linha e terceira coluna)
• Seguir riscando para cima até a primeira linha (da terceira até a primeira linha, permanecendo na terceira coluna)
• Retornar riscando até encontrar o último elemento não riscado da primeira linha (da terceira até a segunda coluna, permanecendo na primeira linha). Este é o ponto de chegada.

Os índices de Voigt são numerados em sequência a partir de 1, iniciando no ponto de partida e seguindo até o ponto de chegada (no exemplo os números em azul), mapeando todos os elementos do tensor.

Notação de Mandel

Para um tensor simétrico de segunda ordem

$\mathit{\sigma }=\left[\begin{array}{ccc}{\sigma }_{11}& {\sigma }_{12}& {\sigma }_{13}\\ {\sigma }_{21}& {\sigma }_{22}& {\sigma }_{23}\\ {\sigma }_{31}& {\sigma }_{32}& {\sigma }_{33}\end{array}\right]$

somente seis componentes são distintas, as três na diagonal principal e as outras três restantes fora da diagonal. Pode assim ser expresso na notação de Mandel como o vetor

${\tilde{\sigma }}^M=({\sigma }_{11},{\sigma }_{22},{\sigma }_{33},\sqrt{2}{\sigma }_{12},\sqrt{2}{\sigma }_{23},\sqrt{2}{\sigma }_{13}{)}^{\mathrm{T}}$

A principal vantagem da notação de Mandel é permitir o uso da mesma operação convencional usada com vetores, por exemplo

$\tilde{\sigma }:\tilde{\sigma }={\tilde{\sigma }}^M\cdot {\tilde{\sigma }}^M={\sigma }_{11}^2+{\sigma }_{22}^2+{\sigma }_{33}^2+2{\sigma }_{12}^2+2{\sigma }_{23}^2+2{\sigma }_{13}^2$

Um tensor simétrico de quarta ordem satisfazendo $D_{ijkl}=D_{jikl}$ e $D_{ijkl}=D_{ijlk}$ tem 81 componentes no espaço quadridimensional, mas somente 36 componentes são distintas. Assim, na notação de Mandel, pode ser expresso como

${\tilde{D}}^M=\left(\begin{array}{cccccc}{D}_{1111}& D_{1122}& D_{1133}& \sqrt{2}{D}_{1112}& \sqrt{2}{D}_{1123}& \sqrt{2}{D}_{1113}\\ D_{2211}& D_{2222}& D_{2233}& \sqrt{2}{D}_{2212}& \sqrt{2}{D}_{2223}& \sqrt{2}{D}_{2213}\\ D_{3311}& D_{3322}& D_{3333}& \sqrt{2}{D}_{3312}& \sqrt{2}{D}_{3323}& \sqrt{2}{D}_{3313}\\ \sqrt{2}{D}_{1211}& \sqrt{2}{D}_{1222}& \sqrt{2}{D}_{1233}& 2D_{1212}& 2D_{1223}& 2D_{1213}\\ \sqrt{2}{D}_{2311}& \sqrt{2}{D}_{2322}& \sqrt{2}{D}_{2333}& 2D_{2312}& 2D_{2323}& 2D_{2313}\\ \sqrt{2}{D}_{1311}& \sqrt{2}{D}_{1322}& \sqrt{2}{D}_{1333}& 2D_{1312}& 2D_{1323}& 2D_{1313}\end{array}\right)$

Aplicações

Epônimo do físico Woldemar Voigt, é de uso prático em cálculos envolvendo modelos constitutivos para a simulação de materiais sólidos, tais como a lei de Hooke, bem como no método dos elementos finitos e MRI de difusão.

A lei de Hooke consiste em um tensor simétrico de quarta ordem, com 81 componentes (3×3×3×3), relacionando dois tensores simétricos de segunda ordem, os tensores tensão e deformação. A notação de Voigt permite que este tensor seja reduzido a uma matriz simétrica 6×6.

Bibliografia

• P. Helnwein (2001). Some Remarks on the Compressed Matrix Representation of Symmetric Second-Order and Fourth-Order Tensors. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 190(22–23):2753–2770

Ver também

• Lei de Hooke

Predefinição:Tensores