Operador de Laplace-Beltrami

Em geometria diferencial, o operador de Laplace pode ser generalizado para operar em funções definidas em superfícies no espaço euclidiano e, mais em geral, em variedades Riemannianas e pseudo-Riemanniana. Este operador mais geral é conhecido pelo nome de operador de Laplace-Beltrami, em homenagem a Laplace e Beltrami. Como o Laplaciano, o operador de Laplace-Beltrami é definido como a divergência de gradiente, e um operador linear tendo funções em funções. O operador pode ser estendido para operar em tensores como o desvio da derivada covariante. Alternativamente, o operador pode ser generalizado para operar em formas diferenciais usando a derivada exterior e de divergência. O operador resultante é chamado de operador de Laplace-de Rham (em homenagem a Georges de Rham).

Operações

O operador de Laplace-Beltrami, como o Laplaciano, é a divergência do gradiente:

$\mathrm{\Delta }f=\mathrm{div}\mathrm{grad}f.$

Uma fórmula explícita em coordenadas locais é possível.

Suponha primeiro que M é uma variedade Riemanniana orientada. A orientação permite que se especifique uma forma de volume definida em M, dada em um sistema de coordenadas orientado xⁱ por:

${\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}}_n:=\sqrt{|g|}d{x}^1\wedge \dots \wedge d{x}^n$

onde os dxⁱ são as 1-formas que formam a base dual para os vetores de base.

${\partial }_i:=\frac{\partial }{\partial x^i}$

e $\wedge$ é o produto exterior. Neste caso Predefinição:Nowrap é o valor absoluto da determinante do tensor métrico g_ij.