Corpo não comutativo

Corpo não comutativo, em álgebra abstrata, é uma estrutura matemática que tem todas as propriedades usuais de corpos, ou seja, tem operações de soma e produto que tem elemento neutro, elemento inverso, distributividade, etc, exceto que, no corpo não comutativo, a multiplicação não é comutativa.

O estudo dos corpos não comutativos se iniciou em 1843, quando W. R. Hamilton apresentou os quaterniões, considerados, por ele, como o clímax da sua brilhante carreira matemática. Em 1905, Wedderburn provou que não existem corpos finitos não comutativos, ou seja, todo anel de divisão finito é comutativo.

Exemplos de corpos não comutativos são raros na literatura matemática, sendo o primeiro caso de um corpo não comutativo construído como séries de potências o exemplo de Hilbert, em 1898, que ilustrava o fato de que um corpo ordenado não arquimediano não precisava ser comutativo.

Definição

Um corpo não comutativo é uma estrutura matemática (R, +, ., 0, 1) satisfazendo as seguintes propriedades:

• (R, +, 0) é um grupo abeliano
• (R^*, ., 1) é um grupo não abeliano
• Vale a propriedade distributiva

Exemplo: os quaterniões

O primeiro exemplo foi dado por Hamilton, em 1843: são os quaterniões, também chamados como os quaterniões de Hamilton.

Neste anel, cada elemento é escrito como uma soma formal a = a₀ + a₁ i + a₂ j + a₃ k, em que a₀, a₁, a₂ e a₃ são números reais, e a multiplicação é feita assumindo-se as propriedades associativa e distributiva, que um número real comuta, na multiplicação, com i, j e k, e que estes três símbolos formais operam de acordo com as regras:

i² = j² = k² = -1

ij = k, jk = i, ki = j

ji = -k, kj = -i, ik = -j

Uma apresentação equivalente, porém anacrônica (pois matrizes foram introduzidas na matemática por Cayley, em 1855), dos quaterniões pode ser feita por meio de matrizes complexas. Um quaternião seria uma matriz H dada por:

$H=\left[\begin{array}{cc}z& u\\ -\overline{u}& \overline{z}\end{array}\right]$

Obviamente, 1 é a matriz identidade, e os elementos i, j e k podem ser identificados com as matrizes:

$i=\left[\begin{array}{cc}i& 0\\ 0& -i\end{array}\right]$

$j=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right]$

$k=\left[\begin{array}{cc}0& i\\ i& 0\end{array}\right]$

Exemplo: série formal de Laurent

Outro exemplo clássico parte de um corpo (comutativo) L e um automorfismo σ de L. Seja L((T; σ)) o anel das séries de Laurent formais com variável T e coeficientes em L, ou seja, cada elemento de L é escrito, formalmente, como uma série de potências que começa em alguma potência (positiva ou negativa) de T mas não termina, ou seja, são termos da forma:

$\sum _{i=n}^{\mathrm{\infty }}{a}_i{T}^i$

A soma é feita componente a componente, porém o produto é feito após a aplicação da regra:

$Ta=\sigma (a)T$

Prova-se que estas operações definem um anel, e que a multiplicação tem elemento inverso. Se o automorfismo σ não for a própria identidade, então a multiplicação não é comutativa.