Problema ortogonal de Procrustes

O Problema de Procrustes Ortogonal é um problema de aproximação de matriz em Álgebra linear. Em sua forma clássica é dada por duas matrizes $A$ e $B$ e pede-se para encontrar uma matriz ortogonal $R$ que mais se aproxima de $A$ x $B$. Especificamente,

$R=\arg \underset{\mathrm{\Omega }}{\min }\Vert A\mathrm{\Omega }-B{\Vert }_F\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{b}\mathrm{j}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{t}\mathrm{o}{\mathrm{\Omega }}^T\mathrm{\Omega }=I,$

Onde $\Vert \cdot {\Vert }_F$ denota a Norma Frobenius.

O nome Procrustes refere-se a um bandido da mitologia grega que vivia na serra de Elêusis. Em sua casa, ele tinha uma cama de ferro, que tinha seu exato tamanho, para a qual convidava todos os viajantes a se deitarem. Se os hóspedes fossem demasiados altos, ele amputava o excesso de comprimento para ajustá-los à cama, e os que tinham pequena estatura eram esticados até atingirem o comprimento suficiente. Uma vítima nunca se ajustava exatamente ao tamanho da cama porque Procrustes, secretamente, tinha duas camas de tamanhos diferentes.

Solução

Este problema foi originalmente resolvido por Peter Schonemann em uma tese de 1964. A solução individual foi posteriormente publicada em 1998.

Este problema é equivalente a encontrar a matriz ortogonal mais próxima dada pela matriz $M=A^{T}B$. Para encontrar essa matriz ortogonal $R$ utiliza-se a Decomposição em valores singulares

$M=U\mathrm{\Sigma }{V}^{*}$

que leva a

$R=U{V}^{*}.$

Generalização/Restrição do Problema

Existe uma série de problemas relacionados ao clássico Problema de Procustes Ortogonal. Pode-se generalizar procurando a matriz mais próxima em que as colunas são ortogonais, mas não necessariamente ortonormais.

Alternativamente, pode-se restringi-lo, permitindo apenas que matrizes de rotação (ou seja, matrizes ortogonais com Determinante igual a 1, também conhecido como matrizes ortogonais especiais). Neste caso, pode-se escrever (utilizando a decomposição acima $M=U\mathrm{\Sigma }{V}^{*}$).

$R=U{\mathrm{\Sigma }}^{\prime }{V}^{*},$

Onde ${\mathrm{\Sigma }}^{\prime }$ é modificado por $\mathrm{\Sigma }$, com o menor valor singular substituído por $\mathrm{sign}(\det (U{V}^{*}))$ (+1 or -1) e os outros valores singulares substituído por 1, de modo que o determinante de R tem a garantia de ser positivo. Para mais informações, consulte o Kabsch algorithm.

Ver também

• Decomposição em valores singulares
• Análise de Componentes Principais

Referências

• Predefinição:Citar livro
• Predefinição:Citar livro
• Este artigo inclui texto do artigo Orthogonal Procrustes problem.