Norma matricial

Em matemática, uma norma matricial é uma norma definida para matrizes.

Definição de norma

Seja $M^{n\times m}$ o espaço vetorial das matrizes $n\times m$ reais ou complexas. Uma norma $\Vert .\Vert$ é uma função que associa a cada matriz um número real não negativo e satisfaz as propriedades

1. $\Vert A\Vert =0\iff A=0$
2. $\Vert \lambda A\Vert =|\lambda |\Vert A\Vert$
3. $\Vert A+B\Vert \le \Vert A\Vert +\Vert B\Vert$

Norma operacional euclidiana

Quando uma matriz $A\in M^{m\times n}$ é vista como um operador entre os espaços euclidianos ${ℝ}^n$ e ${ℝ}^m$, a norma natural é dada pela norma operacional:

$\Vert A\Vert =\underset{x\in {ℝ}^n,x\ne 0}{\sup }\frac{\Vert Ax\Vert }{\Vert x\Vert }$

A definição é análoga para o caso complexo.

Esta norma tem seguintes propriedades adicionais:

• $\Vert AB\Vert \le \Vert A\Vert \Vert B\Vert$, sempre que o produto está bem definido
• $\Vert I\Vert =1$ onde $I$ é a matriz identidade.

Norma infinito ou norma do máximo

Seja $A={\left[a_{ij}\right]}_{r\times s}$ uma matriz $r\times s$. A norma infinito ou norma do máximo da matriz $A$, denotada por $\Vert A{\Vert }_{\mathrm{\infty }}$, é o número não negativo

$\Vert A{\Vert }_{\mathrm{\infty }}=\underset{1\le i\le r}{\max }\sum _{j=1}^s|a_{ij}|$

(a maior soma absoluta das linhas)

Norma 1

Seja $A={\left[a_{ij}\right]}_{r\times s}$ uma matriz $r\times s$. A norma 1 da matriz $A$, denotada por $\Vert A{\Vert }_1$, é o número não negativo

$\Vert A{\Vert }_1=\underset{1\le j\le s}{\max }\sum _{i=1}^r|a_{ij}|$

A norma da matriz $A=\left|\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& -1\end{array}\right|$, por exemplo, é $\Vert A{\Vert }_1=max\{|1|+|2|,|3|+|-1|\}=max\{3,4\}=4$

Normas baseadas nas entradas

Estas normas vetoriais tratam uma matriz $m\times n$ como um vetor de tamanho $mn$ e utilizam uma das normas vetoriais usuais.

Por exemplo, usando-se a p-norma para vetores, temos:

$\Vert A{\Vert }_p={(\sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^n|a_{ij}{|}^p)}^{1/p}.$

Esta é uma norma diferente das demais normas de matrizes, porém a notação é a mesma.

O caso especial p = 2 é a norma de Frobenius, e p = ∞ dá a nórma do máximo.

A norma de Frobenius é sub-multiplicativa e é muito útil em álgebra linear numérica. Esta norma costuma ser mais simples de calcular que as demais normas.

Norma Induzida

Se a norma vetorial de $R^n$ é dada, então se define a correspondente norma matricial induzida como os seguintes máximos:

$\begin{array}{cc}\Vert A\Vert & =\max \{\Vert Ax\Vert :x\in R^n\text{ with }\Vert x\Vert =1\}\\ & =\max \{\frac{\Vert Ax\Vert }{\Vert x\Vert }:x\in R^n\text{ with }x\ne 0\}.\end{array}$

A norma do operador correspondente à p-norma vetorial é:

${\Vert A\Vert }_p=\max {\mathrm{\backslash limits}}_{x\ne 0}\frac{{\Vert Ax\Vert }_p}{{\Vert x\Vert }_p}.$

No caso de $p=1$ e $p=\mathrm{\infty }$, as normas podem ser calculadas como:

${\Vert A\Vert }_1=\max {\mathrm{\backslash limits}}_{1\le j\le n}\sum _{i=1}^n|a_{ij}|,$ que é simplesmente a máximo soma das coluna em absoluto.

${\Vert A\Vert }_{\mathrm{\infty }}=\max {\mathrm{\backslash limits}}_{1\le i\le m}\sum _{j=1}^n|a_{ij}|,$ que é simplesmente a máxima soma das linhas em absoluto da matriz.

Demonstração para o caso p=1

Por um lado, considere

$\frac{\Vert Ax\Vert }{\Vert x\Vert }=\frac{\sum _{j=1}^n|\sum _{i=1}^n{a}_{ij}{x}_j|}{\sum _{i=1}^n|x_i|}\le \frac{\sum _{j=1}^n\sum _{i=1}^n|a_{ij}||x_j|}{\sum _{i=1}^n|x_i|}\le \frac{\sum _{j=1}^n\max {\mathrm{\backslash limits}}_{1\le j\le n}\sum _{i=1}^n|a_{ij}||x_j|}{\sum _{i=1}^n|x_i|}=\max {\mathrm{\backslash limits}}_{1\le j\le n}\sum _{i=1}^n|a_{ij}|.$

Por outro lado, seja o vetor $x$, com zero em todas as entradas exceto para a j-ésima entrada onde $\max {\mathrm{\backslash limits}}_{1\le j\le n}\sum _{i=1}^n|a_{ij}|$ ocorre. Tem-se

$|Ax|=\sum _{i=1}^n|a_{ij}{x}_j|=\max {\mathrm{\backslash limits}}_{1\le j\le n}\sum _{i=1}^n|a_{ij}|.$

Assim, pelo definição da norma e pelo Teorema do confronto, temos

${\Vert A\Vert }_1=\max {\mathrm{\backslash limits}}_{1\le j\le n}\sum _{i=1}^n|a_{ij}|.$ Cqd

Equivalência entre as normas

Dado que as matrizes formam um espaço de dimensão finita real ou complexo, todas as normas são equivalentes. Ou seja se $\Vert .{\Vert }_1$ e $\Vert .{\Vert }_2$ são normas em $M^{n\times m}$ então existem constantes $C_1$ e $C_2$ tais que:

$C_1\Vert A{\Vert }_1\le \Vert A{\Vert }_2\le C_2\Vert A{\Vert }_1,\mathrm{\forall }A\in M^{n\times m}$