Teste da condensação de Cauchy

Em matemática, o teste da condensação de Cauchy é um teste padrão de convergência para séries infinitas. Seja uma seqüência não-negativa e monotonicamente decrescente $f(n)$ de números reais, então a série ${\sum }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}f(n)$ converge se e somente se a "série condensada" ${\sum }_{n=0}^{\mathrm{\infty }}{2}^{n}f(2^n)$ converge. Ademais, se essas séries convergem, a soma da série condensada não é maior do que $2{\sum }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}f(n)$.

Este teste é bastante técnico, assim como o teste de convergência de Abel, e seu principal objetivo é mostrar a convergência das p-séries quando $p>1$.

Estimativas e demonstração

O teste da condensação de Cauchy segue das seguintes estimativas:

$0\le \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}f(n)\le \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{2}^{n}f(2^n)\le 2\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}f(n)\le +\mathrm{\infty }$

as quais devem ser entendidas como desigualdades nos números reais estendidos.

Para se chegar a primeira desigualdade os termos são reassociados em grupos com número de elementos sendo potências de dois, e depois, em cada grupo, substitui-se seus termos pelo primeiro - que é o maior deles -, já que eles formam uma seqüência não-crescente.

$\begin{array}{ccccccccc}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}f(n)& =& f(1)& +& f(2)+f(3)& +& f(4)+f(5)+f(6)+f(7)& +& \cdots \\ & =& f(1)& +& (f(2)+f(3))& +& (f(4)+f(5)+f(6)+f(7))& +& \cdots \\ & \le & f(1)& +& (f(2)+f(2))& +& (f(4)+f(4)+f(4)+f(4))& +& \cdots \\ & =& f(1)& +& 2f(2)& +& 4f(4)& +& \cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{2}^{n}f(2^n)\end{array}$

Para se chegar a segunda desigualdade, os termos da série são novamente reassociadas em grupos com número de elementos sendo potências de dois, onde em cada grupo é tomada, novamente, uma substituição por um termo maior na série não-crescente $f(n)$.

$\begin{array}{ccc}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{2}^{n}f(2^n)& =& f(1)+(f(2)+f(2))+(f(4)+f(4)+f(4)+f(4))+\cdots \\ & =& (f(1)+f(2))+(f(2)+f(4)+f(4)+f(4))+\cdots \\ & \le & (f(1)+f(1))+(f(2)+f(2)+f(3)+f(3))+\cdots =2\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}f(n)\end{array}$

Visualização do argumento: somas parciais das séries $\sum f(n)$, $\sum 2^{n}f(2^n)$ e $2\sum f(n)$.

Teorema 1

A série $\sum \frac{1}{n^p}$ converge se $p>1$ e diverge se $p\le 1$.

Demonstração

Se $p\le 0$ a série claramente diverge, já que $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{n^p}\ne 0$. Se $p>0$, aplicando o teste da condensação, temos:

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{2}^n\frac{1}{2^{np}}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{2}^{(1-p)n}$.

Temos $2^{1-p}<1$ se e somente se $1-p<0$, ou seja, $p>1$. O resultado segue da convergência da série série geométrica, fazendo $r=2^{1-p}$.

Teorema 2

Se $p>1$ então a série $\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n(\log n{)}^p}$ converge. Se $p\le 1$ então a série diverge.

Demonstração

A monotonocidade da função logarítmica implica que $\log n$ é crescente. Sendo assim, $1/n\log n$ é decrescente, e o teste da condensação pode ser aplicado.

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{2}^n\frac{1}{2^n(\log 2^n{)}^p}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(n\log 2{)}^p}=\frac{1}{(\log 2{)}^p}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^p}$ e o resultado segue do teorema anterior.

Ligações externas

• Cauchy condensation test proof