Variação quadrática

Predefinição:Mais fontes Em matemática, a variação quadrática é usada na análise de processos estocásticos, como o movimento browniano e outros martingales. A variação quadrática é só mais um tipo de variação de um processo.

Definição

Suponha que $X_t$ é um processo estocástico de valores reais definido em um espaço de probabilidade $(\mathrm{\Omega },ℱ,\mathbb{P})$ e com um índice de tempo $t$ que varia entre os números reais não-negativos. Sua variação quadrática é o processo, escrito como $[X{]}_t$, definido como

$[X{]}_t=\underset{\Vert P\Vert \to 0}{\lim }\sum _{k=1}^n(X_{t_k}-X_{t_{k-1}}{)}^2$

em que $P$ varia entre as partições do intervalo $[0,t]$ e a norma da partição $P$P é a malha. Este limite, se existe, é definido usando a convergência de variáveis aleatórias. Note que um processo pode ser de variação quadrática finita no sentido da definição dada aqui e seus caminhos podem ser, não obstante, quase certamente de variação quadrática infinita para todo $t>0$ no sentido clássico de tomar o supremo da soma de todas as partições; este é particularmente o caso do movimento browniano.

Mais geralmente, a covariância (ou variância cruzada) de dois processos $X$ e $Y$ é

$[X,Y{]}_t=\underset{\Vert P\Vert \to 0}{\lim }\sum _{k=1}^n(X_{t_k}-X_{t_{k-1}})(Y_{t_k}-Y_{t_{k-1}}).$

A covariância pode ser escrita em termos de variação quadrática pela identidade de polarização:

$[X,Y{]}_t=\frac{1}{4}([X+Y{]}_t-[X-Y{]}_t).$

Processos de variação finita

Diz-se que um processo $X$ tem variação finita se tiver variação limitada para cada intervalo de tempo finito (com probabilidade 1). Tais processos são muito comuns e incluem, particularmente, todas as funções continuamente diferenciáveis. A variação quadrática existe para todos os processos de variação contínua e finita e é zero.

Esta afirmação pode ser generalizada a processos não-contínuos. Qualquer processo de variação finita càdlàg $X$ tem variação quadrática igual à soma dos quadrados dos saltos de $X$. Para afirmar isto mais precisamente, o limite à esquerda de $X_t$ referente a $t$ é denotado por $X_{t-}$ e o salto de $X$ no tempo $t$ pode ser escrito como $\mathrm{\Delta }{X}_t=X_t-X_{t-}$. Então, a variação quadrática é dada por

$[X{]}_t=\sum _{0<s\le t}(\mathrm{\Delta }{X}_s{)}^2.$

A prova de que processos de variação finita e contínua têm variação quadrática zero segue da seguinte desigualdade. Aqui, $P$ é uma partição do intervalo $[0,t]$ e $V_t(X)$ é a variação de $X$ sobre $[0,t]$.

$\begin{array}{cc}\sum _{k=1}^n(X_{t_k}-X_{t_{k-1}}{)}^2& \le \underset{k\le n}{\max }|X_{t_k}-X_{t_{k-1}}|\sum _{k=1}^n|X_{t_k}-X_{t_{k-1}}|\\ & \le \underset{|u-v|\le \Vert P\Vert }{\max }|X_u-X_v|V_t(X).\end{array}$

Pela continuidade de $X$, este desaparece no limite conforme $\Vert P\Vert$ vai a zero.

Processos de Itō

A variação quadrática de um movimento browniano padrão $B$ existe e é dada por $[B{]}_t=t$. Isto se generaliza a processos de Itō que, por definição, podem ser expressos em termos de integrais de Itō

$X_t=X_0+\underset{0}{\overset{t}{\int }}{\sigma }_{s}d{B}_s+\underset{0}{\overset{t}{\int }}{\mu }_{s}ds,$

em que $B$ é um movimento browniano. Qualquer processo como tal tem variação quadrática dada por

$[X{]}_t=\underset{0}{\overset{t}{\int }}{\sigma }_s^{2}ds.$

Semimartingales

É possível mostrar que variações e covariâncias quadráticas de todos os semimartingales existem. Eles formam uma parte importante da teoria do cálculo estocástico, aparecendo no lema de Itō, que é a generalização da regra da cadeia da integral de Itō. A covariância quadrática também aparece na fórmula de integração por partes.

$X_t{Y}_t=X_0{Y}_0+\underset{0}{\overset{t}{\int }}{X}_{s-}d{Y}_s+\underset{0}{\overset{t}{\int }}{Y}_{s-}d{X}_s+[X,Y{]}_t,$

que pode ser usada para computar $[X,Y]$.

De outra forma, isto pode ser escrito como uma equação diferencial estocástica:

$d(X_t{Y}_t)=X_{t-}d{Y}_t+Y_{t-}d{X}_t+d{X}_{t}d{Y}_t,$

em que$d{X}_{t}d{Y}_t=d[X,Y{]}_t.$

Martingales

Todos os martingales càdlàg e martingales locais têm variação quadrática bem definida, que segue do fato de que tais processos são exemplos de semimartingales. Pode ser mostrado que a variação quadrática $[M]$ de um martingale localmente quadrado integrável é o único processo contínuo à direita e crescente a partir de zero, com saltos $\mathrm{\Delta }[M]=\mathrm{\Delta }{M}^2$, tal que $M^2-[M]$ é um martingale local. Uma prova da existência de $[M]$ (sem uso de cálculo estocástico) é dada em Karandikar-Rao.

Um resultado útil para martingales quadrado integráveis é a isometria de Itō, que pode ser usada para calcular a variância de integrais de Itō,

$𝔼\left({\left(\underset{0}{\overset{t}{\int }}HdM\right)}^2\right)=𝔼(\underset{0}{\overset{t}{\int }}{H}^{2}d[M]).$

Este resultado se mantém sempre que $M$ for um martingale quadrado integrável càdlàg e $H$ for um processo previsível limitado, sendo frequentemente usado na construção da integral de Itō.

Outro importante resultado é a desigualdade de Burkholder-Davis-Gundy, que dá limites ao máximo de um martingale nos termos da variação quadrática. Para um martingale local $M$ começando em zero, com máximo denotado por $M_t^{*}\equiv \underset{s\le t}{\sup }|M_s|$ e qualquer número real $p\ge 1$, a desigualdade é

$c_p𝔼([M{]}_t^{p/2})\le 𝔼((M_t^{*}{)}^p)\le C_p𝔼([M{]}_t^{p/2}).$

Aqui, $c_p<C_p$ são constantes que dependem da escolha de $p$, mas não do martingale $M$ ou do tempo $t$ usado. Se $M$ for um martingale local contínuo, então a desigualdade de Burkholder-Davis-Gundy se mantém para qualquer $p>0$.

Um processo alternativo, a variação quadrática previsível, é usado às vezes para martingales localmente quadrado integráveis. É escrita como ${⟨M⟩}_t$ e definida como sendo o único processo previsível contínuo à direita e crescente a partir de zero, tal que $M^2-⟨M⟩$ é um martingale local. Sua existência segue do teorema da decomposição de Doob-Meyer e, para martingales locais contínuos, é igual à variação quadrática.

Ver também

• Variação total