Teorema Fundamental dos Homomorfismos

Predefinição:Sem notas Em álgebra abstrata, o teorema fundamental dos homomorfismos, também conhecido como teorema homomórfico fundamental, relaciona a estrutura de dois objetos, entre os quais existe um homomorfismo, e o núcleo e a imagem do homomorfismo.

O teorema homomórfico é usado para provar os teoremas do isomorfismo.

Versão teórica de grupo

Dados dois grupos $G$ e $H$ e um homomorfismo de grupo $f:G\to H$, seja $K$ um subgrupo normal de $G$ e $\phi$ o homomorfismo sobrejetivo canônico $G\twoheadrightarrow G/K$ (onde $G/K$ é um grupo quociente). Se $K$ é um subconjunto de ker$(f)$, então, existe um único homomorfismo $h:G/K\to H$ tal que $f=h\circ \phi$.

Em outras palavras, a projeção natural $\phi$ é universal entre homomorfismos em $G$ que mapeiam $K$ para o elemento identidade.

A situação é descrita pelo seguinte diagrama comutativo:

Escolhendo $K=\ker (f)$ imediatamente se consegue o primeiro teorema do isomorfismo.

O caso dos conjuntos

Seja $X$ um conjunto e $R$ uma relação de equivalência sobre $X$ e ${\pi }_R:X\to X/R$ a correspondente sobrejeção. Se $Y$ é um conjunto, uma função $\sigma :X\to Y$ será dita uma $R$-função quando $\sigma$ for constante nas classes de $R$, isto é, quando $x{\sim }_{R}y$ implica $\sigma (x)=\sigma (y)$ se $x\in X,y\in X$. Toda $R$-função fatora-se unicamente através do quociente $X/R$, isto é, existe uma única função $\tilde{\sigma }:X/R\to Y$ tal que $\tilde{\sigma }\circ {\pi }_R=\sigma$. A unicidade é imediata, posto que ${\pi }_R$ é sobrejetiva. Defina uma relação $\mathrm{\Sigma }$ de $X/R$ em $Y$ consistindo de todos os pares $(c,\sigma x)$ para $c\in X/R$, $x\in c$. Essa relação é funcional: seu domínio é claramente todo o $X/R$; ademais, se $(c,\sigma x)$ e $(c,\sigma y)$ estão em $\mathrm{\Sigma }$, $x$ e $y$ estão na mesma $R$-classe, logo $\sigma (x)=\sigma (y)$ por hipótese. Temos então uma candidata à função procurada, que envia uma classe de $X/R$ à imagem por $\sigma$ de qualquer um de seus representantes. Mas agora é imediato que a fatoração se verifica, e estamos terminados.

Nas condições do enunciado do teorema do início desta seção, $K\le \ker (f)$ é equivalente a $f$ ser uma ${\equiv }_K$-função; a aplicação induzida pelas observações do parágrafo anterior é um homomorfismo uma vez que $\pi$ é epimorfismo e $f$ é homomorfismo.

Segundo Teorema dos Isomorfismos

O Segundo Teorema dos Isomorfismos, também conhecido como Teorema do Isomorfismo do Reticulado (Lattice Isomorphism Theorem), tem o seguinte enunciado

Seja $G$ um grupo e seja $N$ um subgrupo normal de $G$:

(i) O epimorfismo canônico $\pi :G\twoheadrightarrow G/N$ induz um isomorfismo de reticulados entre o conjunto de subgrupos de $G$ contendo $N$ e o conjunto de subgrupos de $G/N$; esse isomorfismo preserva normalidade e podemos escrever $K^{\pi }=K/N\le G/N$ se $G\ge K\ge N$.

(ii) Se $G\ge H\ge N$, há uma bijeção entre os espaços de classes $G/H\to (G/N)/(H/N)$, i.e., os índices $[G:H]$ e $[G/N:H/N]$ são iguais. Se, além disso, $H⊲G$, (note-se que por (i) há uma estrutura natural de grupo no contradomínio) essa bijeção é um isomorfismo.

Prova.

Para (i), o isomorfismo envia um subgrupo à sua imagem por $\pi$ e traz um subgrupo por sua imagem inversa; trata-se de uma bijeção que preserva a ordem parcial de inclusão; também preserva subgrupos gerados e interseções*, portanto é um isomorfismo de reticulados. É imediato que preserva normalidade.

*Que preserva interseções é consequência da igualdade entre espaços de classe $\bigcap _{\alpha \in 𝒜}(K_{\alpha }/L)=\left(\bigcap _{\alpha \in 𝒜}{K}_{\alpha }\right)/L$, para $(K_{\alpha }{)}_{\alpha \in 𝒜}$ uma família de subgrupos de um mesmo grupo, cada um de seus membros contendo o subgrupo $L$. Uma inclusão é imediata; seja então ${\left(k_{\alpha }\right)}_{\alpha \in 𝒜}$ um elemento do conjunto $\prod K_{\alpha }$ tal que $k_{\alpha }L=k_{\beta }L$ quaisquer que sejam $\alpha ,\beta \in 𝒜$. Já que $L\le \bigcap K_{\alpha }$, vale que para todo $\alpha \in 𝒜$, $k_{\alpha }\in \bigcap K_{\alpha }$, implicando a outra.

Para (ii), temos a função de projeção ${\pi }_2:G/N\to G^{\pi }/H^{\pi }$ , portanto temos a sobrejeção ${\pi }_2\circ \pi :G\to (G/N)/(H/N)$. Note que para $a,b\in G$, se $a{\equiv }_{H}b$, então $a^{-1}b\in H$ e $\pi (a{)}^{-1}\pi (b)\in H^{\pi }$ ($\pi$ é homomorfismo), donde $\pi (a){\equiv }_{H^{\pi }}\pi (b)$ ou seja ${\pi }_2\circ \pi (a)={\pi }_2\circ \pi (b)$. Portanto ${\pi }_2\circ \pi$ desce, pela propriedade universal de conjuntos-quocientes, para uma função $\phi$ entre os espaços de classe $G/H\to (G/N)/(H/N)$ tal que $\phi \circ {\pi }_1={\pi }_2\circ \pi$, onde ${\pi }_1$ é a sobrejeção de $G$ sobre o espaço de classes $G/H$. Afirmo que $\phi$ estabelece a equipotência: a função é sobrejetiva, pois o são ${\pi }_2\circ \pi$ e ${\pi }_1$; é injetiva pois se, digamos, $x={\pi }_1(s),y={\pi }_1(t)$, têm a mesma imagem por $\phi$, então ${\pi }_2\circ \pi (s)={\pi }_2\circ \pi (t)$, logo $\pi (s{)}^{-1}\pi (t)\in H^{\pi }$, daí $\pi (s^{-1}t)\in H^{\pi }$, portanto $s^{-1}t\in H$ (pelo isomorfismo de reticulados), logo $x=y$. Se adicionalmente $H⊲G$, o argumento se repete mutatis mutandis: em vez de apelarmos à propriedade universal de conjuntos-quocientes, apelamos àquela dos grupos quocientes (isto é, ao teorema que dá nome a esta página), obtendo um homomorfismo que se fatora como antes (uma vez que todas as projeções em questão tornam-se homomorfismos), estabelecendo enfim o isomorfismo $G/H\cong (G/N)/(H/N)$.

Contando produtos

Ideias análogas às anteriores podem ser usadas para provar a seguinte

Proposição. Sejam $H$ e $K$ subgrupos de um grupo. Então o conjunto de produtos $HK=\{hk:h\in H,k\in K\}$ tem cardinalidade $[H:H\cap K]\cdot |K|$ (interprete-se à luz da aritmética cardinal).

Se $H$ e $K$ forem finitos, recuperamos a conhecida fórmula $|HK|=\frac{|H|\cdot |K|}{|H\cap K|}$.

Para provarmos, note que temos o seguinte

Fato. Seja $G$ um grupo e sejam $S$ um conjunto de elementos de $G$ e $H\le G$ com seus elementos em $S$. Suponha que $sh\in S$ sempre que $s\in S$ e $h$ for um elemento do subgrupo $H$. Já que $H\le G$, a relação ${\equiv }_H$ é uma relação de equivalência sobre $S$ e a hipótese sobre $S$ garante que as classes de equivalência são da forma $sH$ para algum $s\in S$. Logo $\mathrm{Card}(S)=(\mathrm{Card}(S/{\equiv }_H))|H|$.

O leitor deve ter reconhecido o fato anterior como uma generalização modesta do Teorema de Lagrange. O importante é que, diferentemente deste último, não exigimos que a operação do grupo restrinja-se ao conjunto de elementos. Isso é crucial para provarmos a Proposição: o conjunto $HK$ satisfaz as hipóteses, se tomarmos o subgrupo como sendo $K$. Temos a composição natural $H\underset{}{\overset{\iota }{\to }}HK\underset{}{\overset{\pi }{\to }}(HK)/{\equiv }_K$ que envia um elemento à sua classe. Trata-se de uma ${\equiv }_{H\cap K}$-função; esta desce, logo, a uma função $\theta$ que vai do espaço de classes $H/H\cap K$ ao conjunto $(HK)/{\equiv }_K$. Agora é rotina checar que se trata de uma bijeção. ///

Utilizando o subgrupo $H$ e classes laterais à direita, obtém-se que a cardinalidade de $HK$ também é igual a $[K:H\cap K]\cdot |H|$, que é igual à cardinalidade de $KH$.

Finalizaremos com a seguinte

Proposição. Se $H$ e $K$ forem subgrupos tais que $H$ normaliza $K$, então o conjunto $HK$ forma um subgrupo, $K⊲HK$, $H\cap K⊲H$ e a função $\theta :H/H\cap K\to (HK)/K$ obtida anteriormente é um isomorfismo.

Outras versões

Teoremas semelhantes são válidos para monóides, espaços vetoriais, módulos e anéis.

Veja também

• Homomorfismo
• Isomorfismo
• Grupos

Referências

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