Teorema de Helly

O teorema de Helly no plano euclidiano: se uma família de conjuntos convexos tem uma interseção não vazia para cada grupo de três subconjuntos, então a família inteira tem interseção não vazia.

O teorema de Helly é um resultado básico em geometria discreta sobre a interseção de conjuntos convexos. Ele foi descoberto por Eduard Helly em 1913, mas não foi publicado por ele até 1923, e àquela altura, provas alternativas por Predefinição:Harvtxt e Predefinição:Harvtxt já tinham aparecido. O teorema de Helly deu origem à noção da "família de Helly".

Declaração

Deixe Predefinição:Math ser uma coleção finita de subconjuntos convexos de Predefinição:Math, com Predefinição:Math. Se a interseção de todos os Predefinição:Math desses conjuntos não for vazia, então toda a coleção tem uma intersecção não vazia; ou seja,

$\bigcap _{j=1}^n{X}_j\ne \varnothing .$

Para coleções infinitas tem-se que assumir a compactidade. Deixe Predefinição:Math} ser uma coleção de subconjuntos convexo compactos de Predefinição:Math, tais que toda subcoleção de cardinalidade no máximo Predefinição:Math tem interseção não vazia, então toda a coleção tem interseção não vazia.

Veja também

• Lema de Shapley–Folkman

Outras referências

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• Heinrich Guggenheimer (1977) Aplicável a Geometria, página 137, Krieger, Huntington Predefinição:ISBN .
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