Processo contínuo de Feller

Em matemática, um processo contínuo de Feller é um processo estocástico de tempo contínuo para o qual o valor esperado da estatística adequada do processo em um dado momento no futuro depende continuamente da condição inicial do processo. O conceito recebe este nome em homenagem ao matemático croata-americano William Feller.

Definição

Considere $X:[0,+\mathrm{\infty })\times \mathrm{\Omega }\to {ℝ}^n$ um processo estocástico definido em um espaço de probabilidade $(\mathrm{\Omega },\mathrm{\Sigma },P)$. Para um ponto $x\in {ℝ}^n$, considere que $P^x$ denota a lei de $X$ levando em conta o dado inicial $X_0=x$ e considere que $E^x$ denota a expectativa no que diz respeito a $P^x$. Então, diz-se que $X$ é um processo contínuo de Feller se, para qualquer $t\ge 0$ e qualquer função $\mathrm{\Sigma }$-mensurável, contínua e limitada $g:{ℝ}^n\to ℝ$, $E^x[g(X_t)]$ depende continuamente de $x$.

Exemplos

• Todo processo $X$ cujos caminhos são quase certamente constantes para todo momento é um processo contínuo de Feller, já que $E^x[g(X_t)]$ é simplesmente $g(x)$, que, por hipótese, depende continuamente de $x$.
• Toda difusão de Itō com deriva e coeficientes de difusão Lipschitz contínuos é um processo contínuo de Feller.