Vetor de Laplace

Em matemática e física, o operador do vetor de Laplace, denotado por ${\mathrm{\nabla }}^2$, nomeado em homenagem a Pierre-Simon Laplace, é um operador diferencial definido em um campo vetorial. O vetor Laplaciano é semelhante ao laplaciano escalar.

Definição

O vetor Laplaciano de um campo vetorial $𝐀$ é definido como

${\mathrm{\nabla }}^2𝐀=\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐀)-\mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }\times 𝐀).$

Em coordenada cartesianas, isso reduz a forma muito mais simples:

${\mathrm{\nabla }}^2𝐀=({\mathrm{\nabla }}^2{A}_x,{\mathrm{\nabla }}^2{A}_y,{\mathrm{\nabla }}^2{A}_z),$

onde $A_x$, $A_y$, e $A_z$ são os componentes de $𝐀$. Isso pode ser visto como um caso especial da fórmula de Lagrange (veja Produto triplo).

Para expressões do vetor Laplaciano em outros sistemas de coordenadas, veja Del em coordenadas cilíndricas e esféricas.