Ponto de alavanca (estatística)

Em estatística, em particular, na análise de regressão, o ponto de alavanca é uma medida dos valores de observação da variável independente.

Os computadores modernos para análise estatística incluem, como parte das instalações para a análise de regressão, algumas medidas quantitativas que identificam as influências dos dados: entre essas medidas esta a o ponto de alavancagem parcial, uma medida de como uma variável contribui para alavancar o ponto de referência.

Modelo de Regressão Linear

No modelo de regressão linear , o ponto de alavanca para a i-ésima unidade de dados é definido como:

$h_{ii}={\left[𝐇\right]}_{ii},$

o elemento da matriz de projeção $𝐇=𝐗{\left({𝐗}^{𝖳}𝐗\right)}^{-1}{𝐗}^{𝖳}$, onde $𝐗$ é a matriz de projeto.

$h_{ii}=\frac{\partial {\hat{y}}_i}{\partial y_i},$

${\hat{y}}_i$ e $y_i$ são as medida de ajustes e observação, respectivamente.

Limites do ponto de alavanca

$0\le h_{ii}\le 1.$

Prova

Primeiro, note que H é uma matriz idempotente: $H^2=X(X^{\mathrm{\top }}X{)}^{-1}{X}^{\mathrm{\top }}X(X^{\mathrm{\top }}X{)}^{-1}{X}^{\mathrm{\top }}=XI(X^{\mathrm{\top }}X{)}^{-1}{X}^{\mathrm{\top }}=H.$ Como também, observe que a $H$ é simétrica. Desse nodo, quando igualamos a ii elemento de H ao H ², nos temos

$h_{ii}=h_{ii}^2+\sum _{j\ne i}{h}_{ij}^2\ge 0$

e$h_{ii}\ge h_{ii}^2⟹h_{ii}\le 1.$

Efeitos do desvio residual

Se temos uma ordinário dos mínimos quadrados com uma configuração fixa de X, erros de regressão ${ϵ}_i,$ e

$Y=X\beta +ϵ$

$\mathrm{Var}(ϵ)={\sigma }^{2}I$

em seguida, $\mathrm{Var}(e_i)=(1-h_{ii}){\sigma }^2$ onde $e_i=Y_i-{\hat{Y}}_i$ (onde o i-ésimo é a regressão residual).

Em outras palavras, se o modelo de erros $ϵ$ é homoscedástico, a observação do ponto de alavancagem determina o grau de diferenças no modelo de desvio de ramo dessa observação.

Antecipadamente, observe que $I-H$ é idempotente e simétrica. Isso significa,

$\mathrm{Var}(e_i)=(1-h_{ii}){\sigma }^2.$

Resíduos de studentizados

Os resíduos de studentizados — são resíduos ajustados para sua observação específica residual de variância e, em seguida, é

$t_i=\frac{e_i}{\hat{\sigma }\sqrt{1-h_{ii}}}$

onde $\hat{\sigma }$ é uma estimativa apropriada de $\sigma .$

• Matriz de projeção – one as entradas da diagonal principal são os pontos de alavancagens de observações
• Mahalanobis a distância – uma medida de alavancagem de um ponto de referência
• Distância de Cook– uma medida de alterações nos coeficientes de regressão quando uma observação é eliminado
• DFFITS
• Os Outliers – extremos valores de Y nas observações