Distância de Cook

Em estatística, a distância de Cook é uma medida da influência de uma observação ao realizar-se uma análise de regressão de mínimos quadrados. O nome é uma homenagem ao estatístico americano R. Dennis Cook. A distância de Cook mede o efeito de excluir uma dada observação. E em pontos com grande distância de Cook considera-se checagem para validação.

A distância de Cook é definida como

$D_i=\frac{\sum _{j=1}^n({\hat{Y}}_j-{\hat{Y}}_{j(i)}{)}^2}{p\mathrm{M}\mathrm{S}\mathrm{E}}.$

Que é algebricamente equivalente à expressão

$D_i=\frac{e_i^2}{p\mathrm{M}\mathrm{S}\mathrm{E}}\left[\frac{h_{ii}}{(1-h_{ii}{)}^2}\right].$

Nas equações acima:

${\hat{Y}}_j$ é a previsão do modelo de regressão completo para a observação j;

${\hat{Y}}_{j(i)}$ é a previsão de observação j de um modelo de regressão reformado em que a observação i foi omitida;

$h_{ii}$ é o i-nésimo elemento da diagonal da matriz de projeção $𝐗{\left({𝐗}^T𝐗\right)}^{-1}{𝐗}^T$;

$e_i$ é o resíduo bruto (i.e., a diferença entre o valor observado e o valor ajustado pelo modelo proposto);

$\mathrm{M}\mathrm{S}\mathrm{E}$ é o erro quadrático médio do modelo de regressão;

$p$ é o número de parâmetros ajustados no modelo

Detecção de observações altamente influentes

Há mais de uma opinião a respeito de quais pontos de corte devem ser usados para se detectar pontos altamente influentes. A norma operacional $D_i>1$ é uma das sugeridas. Outros sugerem o uso de $D_i>4/n$, onde $n$ é o número de observações.

Referências

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