Matriz idempotente

Em álgebra, uma matriz idempotente é uma matriz que, ao ser multiplicada por si mesma, resulta em si mesma. Em outras palavras, a matriz A, é idempotente se e somente se $AA=A$. Para que este produto AA seja possível, A deve necessariamente ser uma matriz quadrada.

Propriedades

• Matrizes idempotentes são sempre positivas semi-definidas.
• Com exceção da matriz identidade, uma matriz idempotente A é sempre singular, ou seja, não admite inversa:

  $I=A{A}^{-1}=A^2{A}^{-1}=A\left(A{A}^{-1}\right)=A$

• Se uma matriz A é idempotente, a matriz $I-A$ também é.

Matriz de projeção

É possível construir matrizes idempotentes de forma bem generalizada, a partir de matrizes não simétricas. Seja $X$ uma matriz de dimensão $n\times k$ com posto $rank(A)=k$ . A Matriz de projeção é uma matriz quadrada, idempotente e hermitiana que se encaixa nessa categoria:

$P\equiv X{\left(X^{T}X\right)}^{-1}{X}^T$, onde $X^T$ denota a matriz transposta de X e ${\left(X^{T}X\right)}^{-1}$ denota a matriz inversa da matriz $X^{T}X$. Esta matriz é chamada de matriz de projeção porque sempre é verdade que $PX=X$ .

• Uma propriedade importante desta matriz é que, se particionarmos a matriz X de dimensão nXk em duas matrizes $X_1$ e $X_1$ de tal forma que $X=\left[\begin{array}{cc}{X}_1& X_2\end{array}\right]$, então

$P{X}_1=X_1$:

Por exemplo, sejam as matrizes $X=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right],X_1=\left[\begin{array}{c}a\\ c\end{array}\right],X_2=\left[\begin{array}{c}b\\ d\end{array}\right]$. Então,

$P{X}_1=$$\begin{array}{c}\underbrace{X{\left(X^{T}X\right)}^{-1}{X}^T}\\ P\end{array}*\left[\begin{array}{c}a\\ c\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]{\left(\left[\begin{array}{cc}a& c\\ b& d\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]\right)}^{-1}\left[\begin{array}{cc}a& c\\ b& d\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}a\\ c\end{array}\right]=$

$\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]{\left(\left[\begin{array}{cc}{a}^2+c^2& ab+cd\\ ab+cd& b^2+d^2\end{array}\right]\right)}^{-1}\left[\begin{array}{c}{a}^2+c^2\\ ab+cd\end{array}\right]$$=\left[\begin{array}{c}a\\ c\end{array}\right]$

• A matriz de projeção é largamente utilizadas em econometria. Na estimação por mínimos quadrados ordinários, por exemplo, a matriz P gera os valores estimados da variável dependente y. Por causa desta propriedade, a matriz P também é chamada de "matriz chapéu" (hat matrix, em inglês):

$Py={\left(X^{T}X\right)}^{-1}{X}^{T}y=X\hat{\beta }=\hat{y}$

• P é sempre positiva semi-definida.
• Toda matriz de projeção é idempotente, mas o contrário não é verdadeiro. Apenas as matrizes idempotentes que são simétricas (ou seja, cuja transposta é igual a ela mesma) e hermitianas são matrizes de projeção.

Matriz de aniquilação

• Matriz de aniquilação: $M\equiv I_n-P\equiv I_n-X{\left(X^{T}X\right)}^{-1}{X}^T$. Esta matriz é chamada de matriz de aniquilação porque sempre é verdade que $MX=0$.

A matriz aniquiladora também é bastante útil em econometria. Pode-se provar que, dado um modelo econométrico de mínimos quadrados ordinários

$y=X\beta +\epsilon =X_1{\beta }_1+X_2{\beta }_2+\epsilon$, sendo $X_1,X_2,{\beta }_1,{\beta }_2$ matrizes, poderemos definir

$M_1\equiv I_n-X_1{\left(X_1^T{X}_1\right)}^{-1}{X}_1^T$ e

$M_2\equiv I_n-X_2{\left(X_1^T{X}_2\right)}^{-1}{X}_2^T$

E então podemos estimar os coeficientes separadamente:

${\hat{\beta }}_1={\left(X_1^T{M}_2{X}_1\right)}^{-1}\left(X_1^T{M}_{2}y\right)$

${\hat{\beta }}_2={\left(X_2^T{M}_1{X}_2\right)}^{-1}\left(X_2^T{M}_{1}y\right)$

Referências

• CHEN, Mei Yuan. Matrix Algebra for econometrics. Julho de 2003. National Chung Hsing University. Disponível em: <http://web.nchu.edu.tw/~finmyc/MAT-ALG1.pdf>. Acesso em 24 de junho de 2011. Seção 5.4: Idempotent Matrices.
• Chiang, Alpha C., Fundamental Methods of Mathematical Economics, McGraw–Hill, 3rd edition, 1984: p. 80.
• Greene, William H., Econometric Analysis, Prentice–Hall, 5th edition, 2003: pp. 808–809.
• WOOLDRIDGE. Introdução à Econometria. Editora Thomson. Apêndice D - Resumo de álgebra matricial. Disponível em: <http://www.netofeitosa.com.br/caen_arquivos/econometria/wooldridge_d.pdf>. Acesso em 24 de junho de 2011.
• HAYASHI, Fumio. Econometrics. Princeton University Press. 2000. ISBN-10: 0-691-01018-8. Página 18.
• HANSEN, Bruce. Econometrics. Janeiro de 2011. Disponível em: <http://www.ssc.wisc.edu/~bhansen/econometrics/Econometrics.pdf>. Acesso em 24 de junho de 2011.

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