Coeficiente de correlação de Pearson

Predefinição:Mais-notas Em estatística descritiva, o coeficiente de correlação de Pearson, também chamado de "coeficiente de correlação produto-momento" ou simplesmente de "ρ de Pearson" mede o grau da correlação (e a direcção dessa correlação - se positiva ou negativa) entre duas variáveis de escala métrica (intervalar ou de rácio/razão).

Este coeficiente, normalmente representado por ρ assume apenas valores entre -1 e 1.

• $\rho =1$ Significa uma correlação perfeita positiva entre as duas variáveis.
• $\rho =-1$ Significa uma correlação negativa perfeita entre as duas variáveis - Isto é, se uma aumenta, a outra sempre diminui.
• $\rho =0$ Significa que as duas variáveis não dependem linearmente uma da outra. No entanto, pode existir uma dependência não linear. Assim, o resultado $\rho =0$ deve ser investigado por outros meios.

Cálculo

Calcula-se o coeficiente de correlação de Pearson segundo a seguinte fórmula:

$\rho =\frac{\sum _{i=1}^n(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{\sqrt{\sum _{i=1}^n(x_i-\overline{x}{)}^2}\cdot \sqrt{\sum _{i=1}^n(y_i-\overline{y}{)}^2}}=\frac{\cos (X,Y)}{\sqrt{\mathrm{var}(X)\cdot \mathrm{var}(Y)}}$

onde $x_1,x_2,\dots ,x_n$ e $y_1,y_2,\dots ,y_n$ são os valores medidos de ambas as variáveis. Para além disso

$\overline{x}=\frac{1}{n}\cdot \sum _{i=1}^n{x}_i$

e

$\overline{y}=\frac{1}{n}\cdot \sum _{i=1}^n{y}_i$ são as médias aritméticas de ambas as variáveis.

A análise correlacional indica a relação entre 2 variáveis lineares e os valores sempre serão entre +1 e -1. O sinal indica a direção, se a correlação é positiva ou negativa, e o tamanho da variável indica a força da correlação.

Cabe observar que, como o coeficiente é concebido a partir do ajuste linear, então a fórmula não contém informações do ajuste, ou seja, é composta apenas dos dados.

Interpretando $\rho$

• 0.9 para mais ou para menos indica uma correlação muito forte.
• 0.7 a 0.9 positivo ou negativo indica uma correlação forte.
• 0.5 a 0.7 positivo ou negativo indica uma correlação moderada.
• 0.3 a 0.5 positivo ou negativo indica uma correlação fraca.
• 0 a 0.3 positivo ou negativo indica uma correlação desprezível.

Interpretação geométrica

As duas séries de valores $X(x_1,\dots ,x_n)$ e $Y(y_1,\dots ,y_n)$ podem ser consideradas como vetores em um espaço de n dimensões. $X(x_1-\overline{x},\dots ,x_n-\overline{x})$ e $Y(y_1-\overline{y},\dots ,y_n-\overline{y})$.

O cosseno do ângulo α entre estes vetores é dado pela fórmula (produto escalar normado):

$\cos (\alpha )=\frac{\sum _{i=1}^N(x_i-\overline{x})\cdot (y_i-\overline{y})}{\sqrt{\sum _{i=1}^N(x_i-\overline{x}{)}^2}\cdot \sqrt{\sum _{i=1}^N(y_i-\overline{y}{)}^2}}$

Portanto $\cos (\alpha )=\rho$

O coeficiente de correlação não é outro senão o cosseno do ângulo α entre os dois vetores!

Se $\rho$ = 1, o ângulo α = 0, os dois vetores são colineares (paralelos).

Se $\rho$ = 0, o ângulo α = 90°, os dois vetores são ortogonais.

Se $\rho$ = -1, o ângulo α = 180°, os dois vetores são colineares com sentidos opostos.

Mais geralmente : $\alpha =\arccos (\rho )$, ($\arccos$ é a inversa da função cosseno).

Ver também

• Correlação
• Coeficiente de correlação de postos de Spearman