Transformada de Anscombe

Desvio padrão da variável aleatória de Poisson estabilizada após transformação com transformada estabilizadora de variância de Anscombe.

Em estatística, a transformada de Anscombe, nomeada em homenagem a Francis Anscombe, é uma transformação de estabilização de variância que transforma uma variável aleatória com uma distribuição de Poisson em uma com uma distribuição Gaussiana aproximadamente padrão. A transformada de Anscombe é amplamente usada em imagens limitadas por fótons (astronomia, raios-X), onde as imagens seguem naturalmente a lei de Poisson. A transformada de Anscombe é geralmente usada para pré-processar os dados a fim de tornar o desvio padrão aproximadamente constante. Em seguida, algoritmos de redução de ruído projetados para a estrutura de ruído gaussiano branco aditivo são usados; a estimativa final é então obtida aplicando uma transformação inversa de Anscombe aos dados sem ruído.

Definição

Para a distribuição de Poisson, a média $m$ e a variância $v$ não são independentes: $m=v$. A transformada de Anscombe

$A:x\mapsto 2\sqrt{x+\frac{3}{8}}$

visa transformar os dados de forma que a variância seja definida em aproximadamente 1 para uma média grande o suficiente; para o zero médio, a variância ainda é zero.

Ele transforma os dados Poissonianos $x$ (com média $m$) em dados aproximadamente Gaussianos da média $2\sqrt{m+\frac{3}{8}}-\frac{1}{4m^{1/2}}+O\left(\frac{1}{m^{3/2}}\right)$ e desvio padrão $1+O\left(\frac{1}{m^2}\right)$. Esta aproximação é boa, desde que $m$ é maior que 4. Para uma variável transformada do formulário $2\sqrt{x+c}$, a expressão para a variação tem um termo adicional $\frac{\frac{3}{8}-c}{m}$; é reduzido a zero em $c=\frac{3}{8}$, que é exatamente a razão pela qual esse valor foi escolhido.

Inversão

Quando a transformada de Anscombe é usada na remoção de ruído (ou seja, quando o objetivo é obter $x$ uma estimativa de $m$), também é necessário para retornar os dados estabilizados de variância e com silenciador $y$ para o intervalo original. Aplicando o inverso algébrico.

$A^{-1}:y\mapsto {\left(\frac{y}{2}\right)}^2-\frac{3}{8}$

geralmente introduz um viés indesejado na estimativa da média $m$, porque a transformação direta de raiz quadrada não é linear. Às vezes, usando o inverso assintoticamente imparcial

$y\mapsto {\left(\frac{y}{2}\right)}^2-\frac{1}{8}$

mitiga a questão do viés, mas este não é o caso na imagem limitada por fótons, para a qual o inverso imparcial exato dado pelo mapeamento implícito

$\mathrm{E}[2\sqrt{x+\frac{3}{8}}\mid m]=2\sum _{x=0}^{+\mathrm{\infty }}(\sqrt{x+\frac{3}{8}}\cdot \frac{m^x{e}^{-m}}{x!})\mapsto m$

deve ser usado. Uma aproximação de forma fechada deste inverso imparcial exato é

$y\mapsto \frac{1}{4}{y}^2-\frac{1}{8}+\frac{1}{4}\sqrt{\frac{3}{2}}{y}^{-1}-\frac{11}{8}{y}^{-2}+\frac{5}{8}\sqrt{\frac{3}{2}}{y}^{-3}.$

Alternativas

Existem muitas outras transformações de estabilização de variância possíveis para a distribuição de Poisson. O relatório Bar-Lev e Enis uma família de tais transformações que inclui a transformação de Anscombe. Outro membro da família é a transformação Freeman-Tukey

$A:x\mapsto \sqrt{x+1}+\sqrt{x}.$

Uma transformação simplificada, obtida como a primitiva do recíproco do desvio padrão dos dados, é

$A:x\mapsto 2\sqrt{x}$

que, embora não seja tão bom em estabilizar a variância, tem a vantagem de ser mais facilmente compreendida. Na verdade, a partir do método delta,

$V[2\sqrt{x}]\approx {\left(\frac{d(2\sqrt{m})}{dm}\right)}^{2}V[x]={\left(\frac{1}{\sqrt{m}}\right)}^{2}m=1$.

Generalização

Embora a transformada de Anscombe seja apropriada para dados Poisson puros, em muitas aplicações os dados apresentam também um componente Gaussiano aditivo. Esses casos são tratados por uma transformação Anscombe generalizada e seus inversos não enviesados assintoticamente ou exatos não enviesados.