Matriz bidiagonal

Em matemática, uma matriz bidiagonal é uma matriz banda com entradas diferentes de zero ao longo da diagonal principal e na diagonal acima ou na diagonal abaixo. Isso significa que há exatamente duas diagonais diferentes de zero na matriz.

Quando a diagonal acima da diagonal principal tem entradas diferentes de zero, a matriz é bidiagonal superior. Quando a diagonal abaixo da diagonal principal tem entradas diferentes de zero, a matriz é bidiagonal inferior.

Por exemplo, a matriz a seguir é bidiagonal superior:

$\left(\begin{array}{cccc}1& 4& 0& 0\\ 0& 4& 1& 0\\ 0& 0& 3& 4\\ 0& 0& 0& 3\end{array}\right)$

e a seguinte matriz é bidiagonal inferior:

$\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 2& 4& 0& 0\\ 0& 3& 3& 0\\ 0& 0& 4& 3\end{array}\right).$

Uso

Uma variante do algoritmo QR começa com a redução de uma matriz geral em uma bidiagonal, e a decomposição de valor singular usa esse método também.

Bidiagonalização

A bidiagonalização é uma das decomposições matriciais unitárias (ortogonais) tais que ${𝑼}^{*}𝑨𝑽=𝑩$, onde $𝑼$ e $𝑽$ são matrizes unitárias (ortogonais); $*$ denota transposição hermitiana; e $𝑩$ é bidiagonal superior. $𝑨$ pode ser retangular.

Para matrizes densas, as matrizes unitárias esquerda e direita são obtidas por uma série de reflexões de Householder aplicadas alternadamente da esquerda e da direita. Isso é conhecido como bidiagonalização Golub-Kahan. Para matrizes grandes, eles são calculados iterativamente usando o método Lanczos, conhecido como método Golub-Kahan-Lanczos.

A bidiagonalização tem uma estrutura muito semelhante à decomposição de valores singulares (SVD). No entanto, é calculada dentro de operações finitas, enquanto SVD requer esquemas iterativos para encontrar valores singulares. É porque os valores singulares ao quadrado são as raízes dos polinômios característicos de ${𝑨}^{*}𝑨$, onde $𝑨$ é considerado alto.

• Stewart, G. W. (2001) Matrix Algorithms, Volume II: Eigensystems. Society for Industrial and Applied Mathematics. Predefinição:ISBN.
• Predefinição:Citation.

Ligações externas

• High performance algorithms para redução à forma condensada (Hessenberg, tridiagonal, bidiagonal)
• Golub-Kahan-Lanczos Bidiagonalization Procedure