Média aritmética

Arquitas de Tarento, um matemático pitagórico que viveu por volta de 400 a.C., definiu que existiam três tipos de média.

Um número é a média aritmética de dois outros quando o excesso do primeiro para o segundo é igual ao excesso do segundo para o terceiro, a média geométrica quando a proporção do segundo para o terceiro é igual à proporção do primeiro para o segundo, e a média harmônica quando a quantidade que o primeiro excede o segundo em relação ao primeiro é igual à quantidade que o segundo excede o terceiro em relação ao terceiro; em notação moderna, sendo o primeiro x, o segundo m e o terceiro y (x > m > y > 0):

• média aritmética: $$x-m=m-y$$
• média geométrica: $$\frac{m}{y}=\frac{x}{m}$$
• média harmônica: $$\frac{x-m}{x}=\frac{m-y}{y}$$

Após algumas transformações, chega-se às fórmulas:

• média aritmética: $$m=\frac{x+y}{2}$$
• média geométrica: $$m=\sqrt{xy}$$
• média harmônica: $$\frac{1}{m}=\frac{1}{2}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})$$

Tipos de média aritmética

Há dois tipos de média aritmética - simples ou ponderada.

Média aritmética simples

A média aritmética simples é a mais utilizada no nosso dia-a-dia. É obtida dividindo-se a soma das observações pelo número delas. É um quociente geralmente representado pelo símbolo $\overline{x}.$ Se tivermos uma série de n valores de uma variável x, a média aritmética simples será determinada pela expressão:

$$\overline{x}=\frac{x_1+x_2+....+x_n}{n}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i$$

Média aritmética ponderada

Consideremos uma coleção formada por n números: $x_1,x_2,\dots ,x_n,$ de forma que cada um esteja sujeito a um pesoPredefinição:Nota de rodapé, respectivamente, indicado por: $p_1,p_2,\dots ,p_n.$ A média aritmética ponderada desses n números é a soma dos produtos de cada um multiplicados por seus respectivos pesos, dividida pela soma dos pesos, isto é:

$$\overline{p}=\frac{x_1{p}_1+x_2{p}_2+....+x_n{p}_n}{p_1+p_2+....+p_n}=\frac{\sum _{i=1}^n{x}_i{p}_i}{\sum _{i=1}^n{p}_i}$$ Obviamente, a média aritmética e a média ponderada podem ser generalizadas para estruturas algébricas mais complexas; a única restrição é que a soma dos pesos seja um número invertível (em particular, não pode ser zero).

Caso todos os valores $x$ tenham o mesmo peso $p$, podemos simplificar a média ponderada em uma média simples isolando $p$:

$$\overline{p}=\frac{x_1{p}_1+x_2{p}_2+....+x_n{p}_n}{p_1+p_2+....+p_n}=\frac{\sum _{i=1}^n{x}_i{p}_i}{\sum _{i=1}^n{p}_i}$$$$\overline{p}=\frac{\sum _{i=1}^n{x}_i{p}_i}{\sum _{i=1}^n{p}_i}=\frac{\sum _{i=1}^n{x}_{i}p}{\sum _{i=1}^{n}p}=\frac{p\times \sum _{i=1}^n{x}_i}{n\times p}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i$$

Exemplos

• Um aluno tirou as notas 5, 7, 9 e 10 em quatro provas. A sua média será $\frac{5+7+9+10}{4}=7,75$ ou seja $\frac{31}{4}=7,75$
• Um aluno fez um teste (peso 1) e uma prova (peso 2), tirando 10 no teste e 4 na prova. A sua média (ponderada) será $\frac{10\cdot 1+4\cdot 2}{1+2}=\frac{10+8}{3}=6.$ Logo, o resultado da média aritmética ponderada para este exemplo é 6. Se o teste e a prova tivessem mesmo peso, e não importa qual o valor do peso, importando apenas a relação entre os pesos, a média ponderada aritmética seria sempre 7. Isto é, se o aluno fizesse um teste (peso 3) e uma prova (peso 3), obtendo respectivamente a mesma pontuação anterior 10 e 4, teríamos: $\frac{10\cdot 3+4\cdot 3}{3+3}=\frac{30+12}{6}=7.$ O resultado para pesos iguais será sempre "7". Veja: $\frac{30+12}{6}=7.$
• Um triângulo no plano tem vértices dados pelas coordenadas cartesianas (2, 1), (4, -1) e (3, 6). O seu baricentro é a média dos vértices, ou seja $(3,2).$

Ver também

• Média biquadrática
• Média cúbica
• Média geométrica
• Média harmônica
• Média quadrática
• Mediana
• Moda
• Valor esperado