Polinómio de Newton

Em análise numérica, Predefinição:PBPE de Newton (nomeado em referência a Isaac Newton) é um polinômio interpolador para um dado conjunto de pontos. Os coeficientes do polinômio são calculados através de diferenças divididas.

Dado um conjunto de $k+1$ pontos:

$(x_0,y_0),\dots ,(x_k,y_k)$

com todos $x_j$ distintos, o polinômio de interpolação de um conjunto de pontos na forma de Newton é dado por:

$p(x)=y_0+\sum _{i=1}^n({\mathrm{△}}^i{y}_0\prod _{j=0}^{i-1}(x-x_j))$

Onde

${\mathrm{△}}^i{y}_0$ := diferença dividida de i-ésima ordem, do ponto 0.

Exemplo

O polinômio $p_2(x)$, que interpola $f(x)$ nos pontos dados

$x_0=-1f(x_0)=4$

$x_1=0f(x_1)=1$

$x_2=2f(x_2)=-1$

Na forma de Newton

$\begin{array}{cccc}x& -1& 0& 2\\ f(x)& 4& 1& -1\end{array}$ (Operador diferenças divididas )

$p_2(x)=f(x_0)+(x-x_0)f[x_0,x_1]+(x-x_0)(x-x_1)f[x_0,x_1,x_2]$

$\begin{array}{cccc}x& \text{Ordem 0}& \text{Ordem 1}& \text{Ordem 2}\\ -1& 4& & \\ & & -3& \\ 0& 1& & \frac{2}{3}\\ & & -1& \\ 2& -1& & \end{array}$

$p_2(x)=4+(x-(-1))(\frac{(1-4)}{(0-(-1))})+(x-(-1))(x-0)(\frac{\frac{((-1)-1)}{(2-0)}-\frac{(1-4)}{(0-(-1))}}{2-(-1)})$

$p_2(x)=4+(x+1)(-3)+(x+1)(x-0)(\frac{2}{3})$

Ver também

• Série de Newton
• Interpolação polinomial
• Polinômio de Lagrange
• Polinómios de Bernstein

Ligações externas

• Amy Hui-Lin Chiu, Quartic Newton's method and matings of polynomials Thesis (Ph. D.)--Boston University, 1997. Predefinição:OCLC Predefinição:En
• Wilhelm Huisinga, Faber and Newton polynomial integrators for open system density matrix propagation , Berlin : ZIB, 1998. Predefinição:OCLC Predefinição:En