Mapa de Rulkov

Gráfico da evolução temporal de $x_n$ em regime de disparo único (a) com parâmetros $\alpha =4$,$\sigma =0.01$,$\mu =0.001$ e condições iniciais $x_0=-0.9$, $y_0=-3$ e regime de rajada (b) com parâmetros $\alpha =5.3$,$\sigma =-0.1$,$\mu =0.001$ e condições iniciais $x_0=-1.3$, $y_0=-3.6$

O mapa de Rulkov é um modelo de disparo neuronal baseado em um sistema dinâmico discreto. Foi proposto por Nikolai F. Rulkov em 2001. A utilização desse tipo de sistema no estudo sobre redes de neurônios apresenta vantagens computacionais quando comparado com um sistema dinâmico contínuo, uma vez que demanda menos memória e simplifica a computação de grandes redes neurais.

Modelo

O mapa de Rulkov, por se tratar de um sistema dinâmico discreto, apresenta $n$ como variável temporal e é representado pelo mapa iterado bidimensional

$\{\begin{array}{c}{x}_{n+1}=f(x_n,y_n)\\ y_{n+1}=y_n-\mu (x_n+1)+\mu \sigma \end{array}$.

Sendo que $f(x_n,y_n)$ é descrito por

$f(x_n,y_n)=\{\begin{array}{cc}\frac{\alpha }{1-x_n}+y_n,& x_n\le 0\\ \alpha +y_n,& 0<x_n<\alpha +y_n\\ -1,& x_n\ge \alpha +y_n\end{array}$,

em que $x_n$ representa o potencial de membrana do neurônio e $y_n$ não tem significado biológico explícito, embora possa ser feita alguma analogia com uma variável de controle simulando um canal iônico. $y_n$ é uma variável dita como lenta, devido aos valores muito pequenos adotados no parâmetro $\mu$$(0<\mu <<1)$. O parâmetro $\sigma$ pode ser interpretado como uma corrente contínua injetada no neurônio como estímulo externo e $\alpha$ é um parâmetro de controle do comportamento do modelo. Diferentes combinações de parâmetros $\sigma$ e $\alpha$ dão origem às dinâmicas de repouso, picos tônicos e rajadas. Para que o modelo possa descrever todos os comportamentos é necessário que $\alpha >4$, caso contrário, apenas os dois primeiros podem ser descritos.

Análise

A dinâmica do mapa de Rulkov pode ser analisada a partir de seu submapa rápido unidimensional, ou seja, a equação de evolução da variável $x_n$. Como $y_n$ evolui muito lentamente, por uma quantidade de tempo considerável esta variável pode ser tratada como um parâmetro constante no submapa rápido unidimensional. Dependendo do valor de $y_n$, este submapa pode ter um ou três pontos fixos. Quando três são presentes, um dos pontos fixos é estável, outro é instável e o terceiro pode alterar sua estabilidade. Conforme $y_n$ aumenta, dois desses pontos fixos (um estável e um instável) se fundem e desaparecem por bifurcação sela-nó.

Ver também

• Modelos de disparos neuronais
• Modelo de Hodgkin-Huxley
• Modelo de FitzHugh-Nagumo
• Modelo de Hindmarsh-Rose