Momento padronizado

Na teoria das probabilidades e na estatística, um momento padronizado de uma distribuição de probabilidade é um momento (geralmente um momento central de grau superior) que é normalizado, normalmente por uma potência do desvio padrão, tornando a escala de momentos invariante. A forma das diferentes distribuições de probabilidade pode ser comparada usando momentos padronizados.

Normalização padrão

Seja X uma variável aleatória com distribuição de probabilidade P e valor médio $\mu =\mathrm{E}[X]$ (ou seja, o primeiro momento bruto ou momento em torno de zero), o operador E denotando o valor esperado de X. Então o momento padronizado de grau k é $\frac{{\mu }_k}{{\sigma }^k},$ isto é, a razão do k- ésimo momento em relação à média

${\mu }_k=\mathrm{E}[(X-\mu {)}^k]=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(x-\mu {)}^{k}P(x)dx,$

elevado à k- ésima potência do desvio padrão,

${\sigma }^k={\mu }_2^{k/2}={\left(\sqrt{\mathrm{E}[(X-\mu {)}^2]}\right)}^k.$

A potência de k é porque os momentos são dimensionados como $x^k,$ significa que ${\mu }_k(\lambda X)={\lambda }^k{\mu }_k(X):$ são funções homogêneas de grau k, portanto o momento padronizado é invariante à escala. Isso também pode ser entendido porque os momentos têm dimensão; na proporção acima que define momentos padronizados, as dimensões se cancelam, portanto são números adimensionais.

Veja também

• Coeficiente de variação
• Momento (matemática)
• Momento central