Número estranho

Na teoria dos números, um número estranho é um número natural abundante que não é semiperfeito. Noutras palavras, a soma dos divisores próprios (divisores incluindo 1, mas não si mesmo) do número é maior que o número, mas nenhum subconjunto desses divisores soma o número em si.

Exemplos

O menor número estranho é 70. Seus divisores próprios são 1, 2, 5, 7, 10, 14 e 35; a soma deles é 74, mas nenhum subconjunto desses números soma 70. O número 12, por exemplo, é abundante, mas não é estranho, pois os divisores próprios são 1, 2, 3, 4 e 6, que somam 16; mas Predefinição:Nowrap

Os primeiros números estranhos são

70, 836, 4030, 5830, 7192, 7912, 9272, 10430, 10570, 10792, 10990, 11410, 11690, 12110, 12530, 12670, 13370, 13510, 13790, 13930, 14770, ... Predefinição:OEIS.

Propriedades

Predefinição:Não resolvido Existem infinitos números estranhos. Por exemplo, Predefinição:Math é estranho para todos os números primos Predefinição:Math. De fato, o conjunto de números estranhos possui densidade assintótica positiva.

Não é conhecido se existe algum número estranho ímpar. Se existir, ele deverá ser maior que 10²¹.

Sidney Kravitz demonstrou que para um número inteiro positivo Predefinição:Mvar, um número primo Predefinição:Mvar superior a Predefinição:Math, e $$R=\frac{2^{k}Q-(Q+1)}{(Q+1)-2^k}$$ também primo maior que Predefinição:Math, então $$n=2^{k-1}QR$$ é um número estranho. Com esta fórmula, ele encontrou o grande número estranho $$n=2^{56}\cdot (2^{61}-1)\cdot 153722867280912929\approx 2\cdot 10^{52}.$$

Números estranhos primitivos

Uma propriedade dos números estranhos é que se Predefinição:Mvar é estranho, e Predefinição:Mvar é um primo maior que a soma dos divisores Predefinição:Math, então Predefinição:Mvar também é estranho. Isso leva à definição de números estranhos primitivos: números estranhos que não são múltiplos de outros números estranhos Predefinição:OEIS. Entre os 1765 números estranhos menores que um milhão, há 24 números estranhos primitivos. A construção de Kravitz produz números estranhos primitivos, já que todos os números estranhos da forma Predefinição:Math são primitivos, mas a existência de infinitos Predefinição:Mvar e Predefinição:Mvar que produzem um primo Predefinição:Mvar não é garantida. É conjecturado que existem infinitos números estranhos primitivos, e Melfi mostrou que a infinitude de números estranhos primitivos é uma consequência da conjectura de Cramér. Números estranhos primitivos com até 16 fatores primos e 14712 dígitos foram encontrados.

Ligações externas

• Predefinição:MathWorld