Paridade

Um número inteiro qualquer é dito par se, ao ser dividido pelo número dois, resulta em um número inteiro, ou seja, seu resultado é um número sem casas decimais, caso contrário esse número é dito ímpar. Alguns números pares são 2, 4, 6, 8, 10 e assim por diante.

Definição

Seja P o conjunto dos números inteiros pares e I o conjunto formado pelos números inteiros ímpares, então:

$P=\{x\in \mathbb{Z}|x=2y,y\in \mathbb{Z}\}$

$I=\{x\in \mathbb{Z}|x=2y-1,y\in \mathbb{Z}\}$

Propriedades dos números pares e ímpares

Sejam $P$ o conjunto dos números pares e $I$ o conjunto dos números ímpares. Tendo como conjunto universo o conjunto dos números inteiros, temos as seguintes propriedades:

• $P\subset \mathbb{Z}$
• $I\subset \mathbb{Z}$
• $P\cap I=\mathrm{\varnothing }$
• $P\cup I=\mathbb{Z}$
• $P=\overline{I}=\mathbb{Z}-I$, onde a barra denota o complementar do conjunto.
• $I=\overline{P}=\mathbb{Z}-P$

Seja $p$ um número par qualquer e $i$ um número ímpar qualquer, têm-se as seguintes propriedades sobre operações aritméticas:

• A soma ou subtração de dois números pares resulta em um número par:

$p\pm p^{\prime }=2n\pm 2n^{\prime }=2(n\pm n^{\prime })=p^{″}$

• A soma ou subtração de dois números ímpares resulta em um número par:

$i\pm i^{\prime }=(2n-1)\pm (2n^{\prime }-1)=2n\pm 2n^{\prime }+c=2(n\pm n^{\prime }+c)=p$

• A soma ou subtração de um número par com um número ímpar resulta em um número ímpar:

$p\pm i=p\pm (p^{\prime }-1)=(p\pm p^{\prime })\pm 1=i^{\prime }$

• A multiplicação de um número par por um número par resulta em um número par:

$p\times p^{\prime }=(2n)(2n^{\prime })=2(2n{n}^{\prime })=p^{″}$

• A multiplicação de um número ímpar por um número ímpar resulta em um número ímpar:

$i\times i^{\prime }=(2n-1)(2n^{\prime }-1)=2n2n^{\prime }-2n-2n^{\prime }+1=2(2n{n}^{\prime })-2n-2n^{\prime }+1=p-p^{\prime }-p^{″}+1=p^{‴}+1=i^{″}$

• A multiplicação de um número par por um número ímpar resulta em um número par:

$p\times i=(2n)(2n^{\prime }-1)=2n2n^{\prime }-2n=2(2n{n}^{\prime }-n)=p^{\prime }$

• As propriedades de paridade são restritas à divisão devido ao fato do conjunto dos números inteiros não ser fechado para a operação de divisão. No entanto, se o quociente de uma divisão entre dois números pares é inteiro, então ele também é par se o dividendo possuir mais fatores de dois que o divisor:

$p÷p^{\prime }=2^{a}n÷2^{a^{\prime }}{n}^{\prime }=2^{a-a^{\prime }}(n÷n^{\prime })=p^{″}\text{ se, e somente se, }0<a^{\prime }<a$

Métodos de inferência

Existem diversos métodos para determinar se um número dado é par ou ímpar. O mais fácil deles e, consequentemente, o mais utilizado é baseado na observação do último digito do número que esteja avaliando: caso o último dígito do número seja divisível por dois, isto é, se o resto da divisão do mesmo por dois for igual a zero então o número é par, caso contrário, é ímpar.

Exemplos:

$6\Rightarrow 6÷2=3,\text{resto}=0\Rightarrow 6\text{ é par}$

$282\Rightarrow 2÷2=1,\text{resto}=0\Rightarrow 282\text{ é par}$

$4.875.979.749\Rightarrow 9÷2=4,\text{resto}=1\ne 0\Rightarrow 4.875.979.749\text{ é ímpar}$

Em outras palavras, neste método o último dígito é avaliado como um número isolado e considera-se que o número que originou o dígito mantém a mesma característica. Esse método é válido devido ao fato de utilizarmos por padrão o sistema de base 10 para representar os números. Como 10 é um número par, cada casa do número nesta base é formada por combinações de pares de números de mesma grandeza:

$\text{Base }10\to (0,1),(2,3),(4,5),(6,7),(8,9)$

Embora este método de avaliação seja válido nos sistemas numéricos mais comuns (como o Octal, base 8; e o Hexadecimal, base 16), este método não é válido em um sistema numérico com base ímpar. No sistema de base 7, por exemplo, 2₍₇₎ é par, mas 12₍₇₎ é ímpar. Isso acontece porque cada casa do número nesta base contém um número sem par da mesma grandeza, obrigando-o a fazer par com o número da casa seguinte:

$\text{Base }7\to (0,1),(2,3),(4,5),(6,10)$

Paridade do número zero

Zero objetos divididos em dois grupos iguais

Predefinição:Ap O zero é um número par. Esta afirmação é feita devido às seguintes razões:

• ele é um número inteiro múltiplo de dois, isto é, ele pode ser escrito na forma 2n, sendo n inteiro;
• o zero é divisível por 2;
• o zero é cercado por número ímpares;
• o zero é o resultado da soma de algum número inteiro com o seu simétrico;
• zero elementos podem ser divididos em dois grupos com um número igual de elementos;
• o zero, interpretado como número par, é compatível com todas as regras das somas/subtrações e produtos de números pares e ímpares.

Ou seja, o zero compartilha todas as propriedades comuns a todos os números pares, portanto, conclui-se que ele é par. Popularmente, existe uma definição que determina o zero como sendo um número "nem fração nem ímpar". Esta afirmação geralmente vem acompanhada pela justificativa que o zero seria um "número neutro" e que a propriedade não se aplicaria ao mesmo. Esta afirmação é falsa devido ao fato do conceito de elemento neutro estar associada a uma operação e não a um conjunto numérico. De fato, o zero é o elemento neutro das operações de adição e subtração, mas não é, por exemplo, das operações de multiplicação e divisão.