Algoritmo de Zhao Youqin para π

Algoritmo de Zhao Youqin para Predefinição:Pi

Uma página do livro de Zhao Youqin Ge Xiang Xin Shu Vol. 5

O algoritmo de Zhao Youqin para Predefinição:Pi foi um algoritmo criado pelo astrônomo e matemático chinês da Dinastia Yuan Zhao Youqin (Predefinição:Lang, ? – 1330) para calcular o valor de [[Pi|Predefinição:Pi]] em seu livro Ge Xiang Xin Shu (Predefinição:Lang).

Algoritmo

Zhao Youqin começou com um quadrado inscrito em um círculo com raio r.

Se $\ell$ denota o comprimento de um lado do quadrado, desenhe uma linha perpendicular d do centro do círculo ao lado l. Seja e por definição r − d. Então do diagrama

$d=\sqrt{r^2-{\left(\frac{\ell }{2}\right)}^2}$

$e=r-d=r-\sqrt{r^2-{\left(\frac{\ell }{2}\right)}^2}.$

Estenda a linha perpendicular d para dividir o círculo em um octógono; ${\ell }_2$ denota o comprimento de um lado do octógono.

${\ell }_2=\sqrt{{\left(\frac{\ell }{2}\right)}^2+e^2}$

${\ell }_2=\frac{1}{2}\sqrt{{\ell }^2+4{(r-\frac{1}{2}\sqrt{4r^2-{\ell }^2})}^2}$

Seja $l_3$ o comprimento de um lado do hexadecágono

${\ell }_3=\frac{1}{2}\sqrt{{\ell }_2^2+4{(r-\frac{1}{2}\sqrt{4r^2-{\ell }_2^2})}^2}$

similarmente

${\ell }_{n+1}=\frac{1}{2}\sqrt{{\ell }_n^2+4{(r-\frac{1}{2}\sqrt{4r^2-{\ell }_n^2})}^2}$

Procedendo desta forma Zhao Youqin calculou o lado de um 16384-gono, multiplicando-o por 16384 para obter 3141,592 para um círculo com diâmetro = 1000 unidades, ou

$\pi =3.141592.$

Zhao Youqin multiplicou este número por 113 e obteve 355. Deduziu deste número que dos valores tradicionais de Predefinição:Pi, 3, 3,14, Predefinição:Sfrac e Predefinição:Sfrac, o último é o mais preciso.

Ver também

• Algoritmo de Liu Hui para π