Anel com identidade

Em matemática, um anel com identidade, ou anel com unidade é um anel com elemento neutro da multiplicação, denominado 1. Esse elemento sempre é único.

Definições Alternativas

Alguns autores, como Serge Lang, definem anel com existência de elemento neutro para a multiplicação. Nesses casos anéis sem unidade são classificados como pseudoanéis.

Unicidade da Unidade

Proposição:Se um anel $𝒜$ possui unidade, então ela é única.

Prova: A prova segue por absurdo supondo a existência de duas identidades.

Seja $1,1^{\prime }\in 𝒜$ identidades distintas, ou seja, $\mathrm{\forall }x\in 𝒜$ temos $1\cdot x=x$ e $1^{\prime }\cdot x=x$. Segue que $1\cdot 1^{\prime }=1^{\prime }$ mas $1^{\prime }$ também é unidade, então $1\cdot 1^{\prime }=1$ portanto $1=1^{\prime }$

Unidades Versus Anel com Unidade

Dentro de um anel $𝒜$ podemos definir o conjunto $U(𝒜)=\{a\in 𝒜|\mathrm{\exists }b\in 𝒜,a\cdot b=1\}\subseteq 𝒜$, em palavras, $U(𝒜)$ denota o conjunto de todos os elementos invertíveis de $𝒜$ e o chamamos de Conjunto das Unidades. Portanto a noção de unidade não está associada ao elemento neutro da multiplicação $1_{𝒜}$ e sim a existência de inverso multiplicativo. Dessa forma, o termo unidades de um anel não contradiz a proposição acima pois é diferente do termo anel com unidade, o qual se refere à anéis que possuem elemento neutro para a multiplicação.

Exemplos

• O anel dos números inteiros tem unidade;
• Todo domínio de integridade é um anel com unidade;
• O anel das matrizes $n\times n$ possui unidade;